Esquemas entrópicos para la resolución de sistemas de tipo Saint Venant

• Autores: T. Morales de Luna
• Directores de la Tesis: François Bouchut (dir. tes.) , Carlos Parés Madroñal (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Málaga ( España ) en 2007
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Antonio Valle Sánchez (presid.) , Manuel Jesús Castro Díaz (secret.) , Tomás Chacón Rebollo (voc.) , Carlos Vázquez (voc.) , Christophe Berthon (voc.)
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• Resumen

  • El objetivo de la tesis es el de contribuir al estudio numérico de leyes de conservación hiperbólicas y, en particular, al concepto de desigualdades de entropía, Se introducen en primer lugar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de los distintos temas tratados y, en particular, se trata del concepto de desigualdad de entropía para sistemas quasi-linéales.

    El segundo capítulo se centra en el sistema de Saint Venant para aguas someras con fondo no plano. Se introducen los esquemas equilibrados, esto es que preservan los equilibrios (web-balanced schemes). Se define un esquema numérico que preserva todos los equilibrios de tipo subsónico, garantiza la no-negatividad de la altura de aguas y que verifica una desigualdad de entropía semi-discreta.

    En el tercer capítulo, se estudia el sistema bicapa para aguas someras. Este modelo puede verse como dos sistemas de Saint Venant acoplados. La resolución de cada capa de forma independiente tiene la ventaja de evitar calcular los autovalores del sistema en cada iteración, tarea que no es fácil y precisa un coste de cálculo suplementario. Sin embargo, esto lleva en general a esquemas inestables. Se pretende controlar las posibles inestabilidades mediante una desigualdad de entropía. Se introducen dos esquemas distintos que permiten resolver cada capa de forma independiente: un esquema que verifica una desigualdad de entropía completamente discreta y otro que verifica una desigualdad de entropía semidiscreta. Las simulaciones numéricas muestran que mientras las inestabilidades son controladas por el primero, esto no ocurre con el segundo.

    Algunas de las simulaciones numéricas utilizadas en los primeros capítulos se basan sobre el resolvedor simple de Suliciu. Este resolvedor se estudia más detenidamente en el capítulo cuatro. La definición de este resolvedor depende en particular de la elección de ciertos parámetros. Estudios recientes muestran una elección particular de estos parámetros que permiten asegurar que el esquema verifica una desigualdad de entropía discreta. Pero esta elección hace que los choques no sean resueltos de forma exacta. Se propone entonces adaptar el resolvedor de Suliciu con el fin de capturar los choques del sistema de Saint Venant de forma exacta y al mismo tiempo verificar una desigualdad de entropía semi-discreta.

    Finalmente, se presenta el modelo de Savage-Hutter. Este modelo puede interpretarse como un sistema de Saint Venant con un término fuente modificado y admite una desigualdad de entropía. La deducción del modelo parte de las ecuaciones de Euler incomprensibles. Se propone una generalización de este modelo en el quinto capítulo, donde se considerarán dos regiones: una capa superior comprensible y una capa inferior incomprensible. Se obtiene así un modelo de tipo Saint Venant con término fuente que depende de unos ciertos parámetros y que admite también una desigualdad de entropía.