Resumen de Acotaciones con pesos de operadores relacionados con las series de Fourier-Bessel
un breve resumen de cada uno de los capítulos de esta memoria.
1. El sistema de Fourier-Bessel.
En el primer capítulo de la memoria describimos el sistema de Fourier-Bessel multidimensional. Aunque los resultados principales se centran en una generalización del caso radial, presentamos la familia completa de funciones. Este sistema ortonormal está constituido por las autofunciones del operador de Laplace sobre la bola unidad d-dimensional, con d mayor o igual que 2. A continuación, tratamos diversos aspectos de los operadores suma parcial respecto de este sistema. Para ello, presentamos varios resultados conocidos para las sumas parciales asociadas a la serie de Fourier-Bessel multidimensional, tanto en el caso general, como en el caso radial.
2. Convergencia con pesos de las medias de Bochner-Riesz para las series de Fourier-Bessel.
El Capítulo 2 está dedicado al estudio de las medias de Bochner-Riesz de las series de Fourier-Bessel. En primer lugar, definimos dichas medias y mostramos el resultado de acotación con pesos relacionado con ellas. Este resultado se basa en una estimación puntual apropiada para el núcleo de las medias.
Como corolario, obtenemos que las condiciones impuestas sobre nuestros pesos son necesarias cuando estos pesos son potenciales. A partir de aquí deducimos otros resultados, como la convergencia en L^p y la acotación de otros operadores relacionados con las medias de Bochner-Riesz, como son el semigrupo del calor, el semigrupo de Poisson y las integrales fraccionarias.
De la acotación puntual para el núcleo de las medias de Bochner-Riesz obtenemos también desigualdades de tipo débil para p=1 y acotaciones para el supremo de las medias de Bochner-Riesz.
3. g_k-funciones de Littlewood-Paley-Stein para las series de Fourier-Bessel En el último capítulo de la memoria definimos y estudiamos, para k mayor o igual que 1, las g_k-funciones relacionadas con el semigrupo de Poisson de las series de Fourier-Bessel. Probamos que estos operadores son operadores de Calderón-Zygmund cuyo espacio asociado es de tipo homogéneo, por lo tanto, sus propiedades funcionales se derivan de la teoría general. Para ello, necesitamos demostrar una serie de resultados técnicos muy precisos, que utilizaremos para probar condiciones que aseguran que el núcleo asociado a los operadores de las g_k-funciones es un núcleo estándar en el espacio de Banach adecuado.
