Existencia, unicidad y comportamiento asintónico en algunos sistemas dinámicos deterministas y estocásticos

• Autores: Pedro Marín-Rubio
• Directores de la Tesis: Tomás Caraballo Garrido (dir. tes.) , José Real Anguas (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 2003
• Idioma: español
• ISBN: 8468978213
• Tribunal Calificador de la Tesis: Eris Kloeden Peter (presid.) , Antonio Suárez Fernández (secret.) , James Cooper Robinson (voc.) , José Antonio Langa Rosado (voc.) , Tomás Domínguez Benavides (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen

  • La memoria está compuesta de dos partes: la primera se enmarca dentro del Análisis Estocástico y la segunda parte en la Teoría de Atractores. Más concretamente, en el primer bloque de la tesis se presentan resultados concernientes a la existencia y unicidad de solución de ecuaciones estocásticas con reflexión, y sobre su aplicación, previa combinación con ecuaciones estocásticas retrógradas, a la resolución -en sentido clásico y mediante soluciones de viscosidad- por métodos probabilistas de sistemas de ecuaciones (deterministas) en derivadas parciales sobre un dominio dado y con condición de contorno de tipo Neumann homogéneo. La novedad con respecto a trabajos anteriores (cf.Pardoux & Zhang, Ma & Cvitanic, Ma & Yong, Slominski) estriba tanto en la eliminación de condiciones de lipschitzianidad en el coeficiente de derivada de la ecuación estocástica con reflexión, como en el empleo de dominios no convexos. Las técnicas utilizadas se basan en aproximación por regularización de términos continuos (y disipativos) a través de otros -ahora sí lipschitzianos- y en el paso al límite por propiedades de continuidad para el problema de Skorokhod. Finalmente, se extienden los resultados sobre el problema con reflexión estudiando previamente al caso en que aparecen términos de retardo en la ecuación. La segunda parte de la memoria se centra en el estudio de existencia y propiedades cualitativas de atractores para ciertos tipos de problemas diferenciales enmarcados dentro del análisis multivaluado. El motivo de dicho estudio, ya sea autónomo o no (i.e., con dependencia explícita del tiempo en las ecuaciones), se debe al hecho de la no unicidad (ya sea por mero desconocimiento o de facto) de las soluciones a ecuaciones diferenciales -por ejemplo, es el caso en mecánica de fluidos del sistema de Navier-Stokes tridimensional-, o por tratar directamente con inclusiones diferenciales. Tras un estudio previo de los sistemas dinámicos en el caso autónomo multivaluado, comparando teorías de diversos autores como Ball, Melnik & Valero, bArbashin, roxin y Bloeden entre otros, se abordan algunos casos concretos no autónomos mediante el concepto de atractor pullback: en particular se comienza analizando una versión estocástica de las ecuaciones de Navier-Stokes con ruido aditivo, extendiendo el trabajo de Ball, y donde se suponen hipótesis adicionales para trabajar en el espacio de fases habitual, y no en el sentido trayectorial empleado por Sell, por Foias & Temam y por flandoli & Schmalfuss entre otros; después, y como continuación natural, se estudian atractores débiles para sistemas dinámicos multivaluados, así como resultados de semicontinuidad superior de éstos ante perturbaciones y reformulaciones autónomas del problema (formulación producto, cf. Cheban et al.), extendiendo el trabajo se Szegö & Treccani; y finalmente se tratan ecuaciones con retardo de diversos tipos, dependientes o no del tiempo de forma explícita, univaluadas o no, y con retardos variables o distribuidos. Estas últimas ecuaciones son de especial relevancia en el campo de la biología (cf. Hale, Murray, ..) y varios ejemplos sobre problemas y modelos existentes a los que se les puede aplicar el estudio son citados, extendiendo algunos resultados previos de Caraballo et al.