Resumen de Pares de Higgs, grassmanniana infinita y sistemas integrables
- español
Este trabajo hace un estudio detallado de la construcción de Krichever para diversos espacios de moduli, que hemos elegido motivados por el Programa de Abelianización de Hitchin. En el año 1988, Hitchin descubre una aplicación que va del espacio cotangente al moduli de fibrados (sobre una superficie de Riemann fija) a un espacio de secciones globales, y demuestra que es un sistema integrable. Formula entonces la siguiente pregunta a la comunidad científica: ¿Pueden darse, de modo concreto, las ecuaciones diferenciales de este sistema integrable? Nuestro primer objetivo ha sido profundizar en dicha cuestión utilizando como herramientas la Grassmanniana infinita y el morfismo de Krichever. El segundo objetivo ha consistido en buscar otro sistema integrable con propiedades análogas al de Hitchin, y por último, encontrar esquemas en grupos que los uniformicen. Este último objetivo es un paso importante antes de poder pensar espacios de moduli como variedades solución, variedades integrales, de jerarquías de ecuaciones diferenciales. Así pues, damos explícitamente las ecuaciones que caracterizan el espacio de moduli de pares de Higgs, al que añadimos ciertos datos formales. Para ello, demostramos que el espacio resultante es un esquema,caracterizamos la imagen del morfismo de Krichever (que esta vez valora no en una Grassmanniana, sino en toda una fibración de Grassmannianas infinitas), y traducimos dicha condición en una identidad bilineal en términos funciones de Baker-Akhiezer. Generalizamos también la construcción de Krichever para los siguientes espacios de moduli: fibrados vectoriales y curvas lisas, revestimientos finitos y punteados entre curvas lisas, y revestimientos finitos con haz de línea sobre la curva que reviste. Apoyados en este estudio, demostramos la existencia de un sistema integrable con propiedades análogas al de Hitchin y damos un relación del mismo con el Programa de Abelianización de Hitchin. Por último, probamos que ciertos esquemas en grupos - entre los que cabe destacar el grupo de automorfismos semilineales - hacen las veces de generadores locales para dichos espacios de moduli.
- English
This work makes a detailed study of Krichever's construction for several moduli spaces, which we have chosen motivated by Hitchin's Abelianization Program. In 1988, Hitchin discovered a map from the cotangent space to the moduli space of vector bundles (over a fixed Riemann surface) to an affine space of global sections, and he has shown that it is an integrable system. He addressed then the following question to the scientific comunity: can we compute, in some concrete way, the differential equations of this integrable system? Our first aim has been to study in depth Hitchin's question using as tools the infinite Grassmannian and the Krichever map. The second goal consists of looking for an integrable system with analogue properties to that of Hitchin, and finally, to find out group schemes that uniformizes such a moduli spaces. This last goal is an important step before thinking moduli spaces as solution varieties of hierarchies of differential equations. We have explicitly computed equations characterizing the moduli space of Higgs pairs, to which we add formal trivialization data. To achieve this result, we have shown that this space is a scheme, we have characterized the image of the appropriated Krichever map (which takes values not in a single infinite Grassmannian, but in a fibration of infinite Grassmannians), and we have translated this condition into a bilinear identity in terms of Baker-Akhiezer functions. We also generalize the Krichever contruction for the following moduli spaces: vector bundles and curves, pointed and finite coverings between smooth curves, and finite coverings as before with a line bundle upstairs in addition. This study allows us to find out an integrable system which behaves in an similar way as Hitchin system does, and to formulate a relationship with Hitchin's Abelianization Program. Finally, we have shown that certain group schemes - among which it is worth to point out the group of semilinear automorphisms - play the role of local generators for such moduli spaces.
