Resumen de Spectral multi-domain methods for the global instability analysis of complex cavity flows
Francisco Javier de Vicente Buendía 
El principal objetivo de esta tesis doctoral es el estudio de la estabilidad de flujos viscosos incompresibles en geometrías complejas. Entender las inestabilidades dominantes abre la posibilidad de construir métodos para el control de flujo teóricamente fundamentados. Dichas metodologías están basadas en la identificación precisa de los autovectores directos y adjuntos para geometrías complejas (Hill 1992). Las geometrías objeto de la presente investigación son las cavidades: desde aquellas aisladas del flujo exterior de geometría compleja hasta la cavidad abierta interactuando con el flujo externo, que se encuentra en una multitud de aplicaciones (juntas en superficies sustentadoras, engranajes, tren de aterrizaje,...) La herramienta empleada para tal fin es la teoría de inestabilidad lineal BiGlobal (Theofilis 2003).En este análisis, partiendo de un flujo base bidimensional se le superpone una perturbación tridimensional de pequeña amplitud.
Al introducir dicha descomposición de las variables fluidas, q, en las ecuaciones de Navier-Stokes linealizadas y considerar una dependencia temporal modal, se obtiene un problema de autovalores: En esta formulación la parte imaginaria del autovalor representa la frecuencia mientras que la parte real será la tasa de crecimiento de la perturbación buscada.
Para encontrar soluciones con precisión adecuada se ha optado por desarrollar un método de colocación espectral basado en los polinomios de Chebyshev incluyendo la capacidad de la descomposición multibloque de la geometría a estudiar.
Los métodos espectrales son métodos de alto orden que permiten encontrar soluciones precisas con menor coste computacional. En contra tienen principalmente la limitación de que su uso está restringido a geometrías sencillas, en el caso de las técnicas de colocación, aquellas analíticamente convertibles en rectángulos (caso bidimensional). La incorporación del multibloque permite extender el análisis a geometrías que pueden descomponerse como unión de bloques de la tipología anteriormente descrita.
La metodolgía multibloque espectral se ha utilizado en los dos códigos fruto de esta tesis. El primero tiene por objeto la obtención de soluciones estacionarias bidimensionales. Estas soluciones constituyen el flujo base de la descomposición BiGlobal. La evolución temporal en este código se ha implementado mediante un esquema semi-ímplicito donde los términos convectivos se tratan de forma explícita mientras que los viscosos de forma implícita.
Además para abordar la ausencia de ecuación de evolución para la presión se ha empleado un método de compresibilidad artificial que resulta idóneo en la búsqueda de soluciones estacionarias.
El segundo código, que tiene por objeto recuperar el espectro del problema de autovalores, utiliza un método iterativo en subespacios de Krylov debido a la incapacidad computacional de los métodos directos.
Debido precisamente al gran tamaño de las matrices involucradas, se han estudiado e incorporado soluciones computacionales para optimizar el uso de memoria, como la utilización de técnicas no-densas (sparse) que permiten almacenar únicamente los valores no nulos de la matriz del sistema.
Una vez desarrollado el método e implementado los códigos, estos se han validado utilizando para ello un amplio número de casos test. Partiendo de problemas de contorno bidimensionales para probar la eficiencia del multibloque, para continuar con problemas de autovalores. De entre estos cabe destacar la ecuación de Orr-Sommerfeld. Este problema se ha escogido como referencia por ser el límite unidimensional del problema de autovalores BiGlobal, así como por la abundante bibliografía y la existencia de solución precisa con la que comparar. Un siguiente nivel de complejidad lo conseguimos aumentando la dimensión del problema. Trefethen (2000) propone dos problemas que involucran la ecuación de Poisson, uno de ellos con solución analítica lo que le convierte en un excelente ejercicio de validación.
Finalmente llegamos al estudio de la estabilidad en cavidades. En un primer lugar se abordan las cavidades aisladas del flujo externo. Cuatro tipologías distintas han sido analizadas. En primer lugar la cavidad rectangular con pared deslizante (lid-driven cavity). Este caso es un ejemplo clásico de validación dada la abundante literatura que hay disponible sobre él.
Los tres restantes: cavidad en forma de L, cavidades superpuestas (Zhou 2003) y cavidad en forma de cruz, sólo pueden abordarse mediante la descomposición de la geometría en bloques. Los resultados obtenidos han permitido describir y predecir la inestabilidad tridimensional en función del número de Reynolds y de la longitud de la cavidad en la dirección transversal.
El trabajo ha concluido con el estudio de la estabilidad de flujo en cavidades abiertas interactuando con el exterior. Para la definición de las configuraciones a resolver se ha utilizado el trabajo realizado por Bres & Colonius (2008), obteniendo excelentes resultados en el límite incompresible. Se ha llevado a cabo un estudio detallado incluyendo curvas neutras de estabilidad en distintas configuraciones geométricas, así como el uso de los criterios y Q para visualizar el flujo resultante. Dicha visualización será de capital importancia para la comparación experimental en curso en colaboración con la universidad de Monash (Melbourne).
