Análisis teórico y numérico de problemas diferenciales con quimiotaxis repulsiva

• Autores: Diego Armando Rueda Gómez
• Directores de la Tesis: Francisco Manuel Guillén González (dir. tes.) , María Angeles Rodríguez Bellido (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 2018
• Idioma: español
• Número de páginas: 183
• Tribunal Calificador de la Tesis: Santiago I. Badía Rodríguez (presid.) , Cristian Morales Rodrigo (secret.) , Virginia Selgas Buznego (voc.) , Johanes Lankeit (voc.) , Mazen Saad (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen

  • Esta tesis se enmarca en el ámbito del análisis teórico y numérico de Ecuaciones en Derivadas Parciales, con aplicaciones a otras ciencias. Concretamente, aborda el estudio de algunos problemas diferenciales de quimiotaxis de tipo repulsiva-productiva. Los primeros tres capítulos están dedicados al estudio de un modelo de quimiotaxis repulsiva con término de producción cuadrático, y los restantes dos capítulos se enfocan en modelos con términos de producción lineal y potencial (con potencia superlineal y subcuadrática).

    En el Capítulo 1, se presentan dos esquemas numéricos discretos solamente en tiempo, energéticamente estables, para un modelo de quimiotaxis repulsiva con término de producción cuadrático, y se estudian algunas propiedades adicionales de estos esquemas tales como la conservación de la cantidad total de masa, positividad, resolubilidad, convergencia hacia soluciones débiles y estimaciones de error.

    En el Capítulo 2, se estudia un esquema numérico completamente discreto con elementos finitos, energéticamente estable, asociado al modelo estudiado en el Capítulo 1, basado en la introducción de una variable auxiliar. Nuevamente, se estudian algunas propiedades como resolubilidad, conservación de masa, convergencia hacia soluciones débiles, estimaciones de error, y estimaciones débiles y fuertes del esquema. Adicionalmente, como el esquema bajo estudio es no lineal, se proponen dos métodos iterativos para aproximar las soluciones y se prueba la resolubilidad y la convergencia de ambos esquemas hacia el esquema no lineal.

    En el Capítulo 3, se estudia el comportamiento asintótico de las soluciones del modelo estudiado en los Capítulos 1 y 2. En la primera parte, se analiza el comportamiento en tiempo infinito de soluciones débiles del problema continuo y se prueba convergencia exponencial hacia un estado constante. En la segunda parte, se estudia este mismo comportamiento para dos esquemas numéricos completamente discretos asociados a este modelo.

    Los Capítulos 4 y 5 se centran en el estudio de modelos de quimiotaxis repulsiva con términos de producción lineal y potencial, respectivamente. Aquí, usando una técnica de regularización, se proponen algunos esquemas numéricos completamente discretos con elementos finitos, energéticamente estables, asociados a estos modelos, y se prueban algunas propiedades adicionales tales como la resolubilidad, conservación de la cantidad total de masa, y positividad aproximada de las soluciones.

    Finalmente, los resultados teóricos obtenidos a lo largo de la tesis son complementados con simulaciones numéricas realizadas usando los esquemas numéricos derivados en cada capítulo, comparando el comportamiento de los esquemas respecto a ciertas propiedades estudiadas, tales como: positividad de las variables, estabilidad, convergencia y comportamiento en tiempos grandes.