Boundedness and compactness of operators related to time-frequency analysis

• Autores: Eva Primo Tárraga
• Directores de la Tesis: Carmen Fernández Rosell (dir. tes.) , Antonio Galbis Verdú (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat de València ( España ) en 2018
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 184
• Tribunal Calificador de la Tesis: Joachim Toft (presid.) , María del Carmen Gómez-Collado (secret.) , Alessandro Oliaro (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: RODERIC
• Resumen
  • español

    En esta tesis, estudiamos diferentes aspectos de los operadores relacionados con el análisis tiempo-frecuencia. Cada operador lineal y continuo de la clase de Schwartz en su dual, el espacio de distribuciones temperadas, se puede escribir como un operador integral con núcleo K, o también como un operador integral de Fourier (de hecho, pseudodiferencial). Las diferentes condiciones en el núcleo o el símbolo y la fase (en el caso de los operadores integrales de Fourier) permiten extender el operador a varios espacios de funciones y distribuciones. A continuación detallamos los contenidos de la memoria.

    En el primer capítulo presentamos la notación, las definiciones de algunos espacios, de sucesiones, funciones y distribuciones, como los espacios de modulación, espacios de Wiener, y los resultados preliminares, sobre por ejemplo frames de Gabor, que se utilizarán a lo largo de la tesis.

    El segundo capítulo está dedicado al estudio de los multiplicadores incondicionalmente convergentes. El resultado principal, una mejora del teorema de Orlicz, muestra que cada sucesión sumable incondicionalmente en un espacio de Hilbert puede factorizarse como el producto de una sucesión escalar de cuadrado sumable y una sucesión de Bessel del espacio de Hilbert. Con esto se obtienen algunas consecuencias sobre la representación de multiplicadores incondicionalmente convergentes utilizando multiplicadores de Bessel, un problema que introdujeron Balaz y Stoeva en 2013.

    El objetivo del tercer capítulo es investigar la compacidad de los operadores integrales de Fourier cuando actúan en espacios de modulación ponderados con pesos polinomiales, utilizando la representación matricial de los operadores integrales de Fourier con respecto a un frame de Gabor. Como consecuencia, recuperamos y mejoramos algunos resultados conocidos sobre la compacidad de los operadores pseudodiferenciales. También estudiamos las condiciones necesarias para extender la definición de estos operadores integrales de Fourier a espacios de modulación ponderados con pesos GRS, también a través de su representación matricial con respecto a un frame de Gabor.

    En el cuarto capítulo estudiamos las condiciones para la acotación de los operadores integrales de Fourier con una singularidad de tipo Hölder en la fase, cuando actúan en espacios de Lebesgue. Demostramos la acotación en L1 con una pérdida precisa del decaimiento en función del exponente de Hölder, y mostramos que se produce una pérdida incluso en el caso de fases suaves. Después abordamos la continuidad en L2, aportando un relevante contraejemplo para las condiciones impuestas en el caso L1, pero proporcionando condiciones suficientes para dicha continuidad.

    En el último capítulo estudiamos resultados sobre continuidad de multiplicadores unimodulares de Fourier. En ellos se presentan condiciones sobre la fase que representan que la fase no crece en el infinito y tiene oscilaciones moderadas o si crece en el infinito pero sigue oscilando de manera moderada. Encontramos algunos resultados suponiendo que las segundas derivadas de la fase están acotadas o, más generalmente, que sus segundas derivadas pertenecen a un espacio de Wiener particular, permitiendo que sus segundas derivadas tengan fuertes oscilaciones en el infinito. Y otros resultados suponiendo que sus segundas derivadas multiplicadas por un cierto factor pertenecen a un espacio de Wiener particular, permitiendo que sus segundas derivadas crezcan en el infinito y tengan fuertes oscilaciones.

  • English

    In this thesis, we study different aspects of operators related to time-frequency analysis. Every linear and continuous operator from the Schwartz class into its dual, the space of tempered distributions, can be written as an integral operator with kernel K, or also as an integral Fourier operator (in fact, pseudodifferential). Different conditions on the kernel or the symbol and the phase (in the FIOs case) allow to extend the operator to various spaces of functions and distributions. Below we detail the contents of the memory.

    At the first chapter we introduce the notation, the definitions of some spaces and the preliminary results that will be used throughout the thesis. The second chapter is devoted to the study of uncondicional multipliers. The main result, an improvement of Orlicz's theorem, shows that every unconditionally summable sequence in a Hilbert space can be factorized as the product of a square summable scalar sequence and a Bessel sequence. Some consequences on the representation of unconditionally convergent multipliers are obtained. The aim of the third chapter is to investigate compactness for Fourier integral operators when acting on weighted modulation spaces, using the matrix representation of Fourier integral operators with respect to a Gabor frame. As a consequence, we recover and improve some known results on compactness of pseudodifferential operators. At the fourth chapter we study conditions for the boundedness of Fourier integral operators with Hölder-continuous phase on Lebesgue spaces. We prove boundedness in L1 with a precise loss of decay depending on the Hölder exponent, and we show by counterexamples that a loss occurs even in the case of smooth phases. The continuity in L2 is studied as well by providing sufficient conditions and relevant counterexamples. At the last chapter we find some conditions for continuity of unimodular Fourier multipliers on modulation spaces. We find some results assuming that the second derivatives of the phase are bounded or, more generally, that its second derivatives belong to a particular Wiener amalgam space, in particular, its second derivatives could have strong oscillations at infinity.