Resumen de Integrable systems on b-symplectic manifolds
Anna Kiesenhofer
El estudio de variedades b-simplécticas se inició en 2012 con el trabajo de Victor Guillemin, Eva Miranda y Ana Rita Pires (Adv. Math. 264 (2014), 864¿896). Estas variedades que pueden ser interpretadas como variedades simplécticas con singularidades se han convertido en un campo de investigación muy activo. Desde el punto de vista de estructuras de Poisson, una variedad b-sympléctica se define como una variedad de dimensión par (orientada) $M^{2n}$ con una estructura de Poisson $\Pi$ tal que $\Pi^n$ se anula transversalmente como sección del fibrado $¿^{2n}TM$. Esta tesis contribuye resultados importantes en geometría y dinámica de estas variedades b-simplécticas. Tras explicar las nociones básicas sobre variedades de Poisson y variedades b-simplécticas introducimos las definiciones de sistemas integrables en estas variedades. En el caso de variedades b-simplécticas los sistemas integrables que investigamos son llamados "sistemas b-integrables". Los resultados principales de esta tesis son teoremas de coordenadas acción-ángulo para sistemas b-integrables en el caso conmutativo y no conmutativo [KMS, KM2]. Este teorema demuestra la existencia de toros invariantes, llamados toros de Liouville, en el conjunto singular de la variedad b-simpléctica, y su estructura b-simpléctica en un entorno del toro. Posteriormente presentamos un modelo cotangente que nos permite de identificar un entorno de un toro Liouville con un tipo de lift cotangente de una acción de un toro [KM1]. Estos modelos también nos permiten la construcción de ejemplos de sistemas b-integrables utilizando acciones de un toro como punto de partida. El teorema de coordenadas acción-ángulo es la motivación para explorar la estibilidad de sistemas b-integrables de manera analoga al resultado clásico de la teoria KAM para variedades simplécticas. Nuestro teorema KAM demuestra la existencia de un "gran número" de toros Liouville que son invariantes bajo pequeñas perturbaciones de cierta forma. Para terminar, presentamos varios ejemplos de estructuras simplécticas singulares que aparecen como resultado de transformaciones non-canónicas en la regularización de singularidades en mecánica celeste [DKM]. Esta tesis ha dado lugar a las siguientes publicaciones: [KMS] A. Kiesenhofer, E. Miranda, G. Scott, Action-angle variables and a KAM theorem for b-Poisson manifolds, J. Math. Pures Appl. (9) 105 (2016), no. 1, 66¿85. [DKM] A. Delshams, A. Kiesenhofer, E. Miranda, Examples of integrable and non-integrable systems on singular symplectic manifolds, Journal of Geometry and Physics, DOI 10.1016/j.geomphys.2016.06.011. [KM1] A. Kiesenhofer, E. Miranda, Cotangent models for integrable systems in symplectic and $b$-Poisson manifolds, Communications in Mathematical Physics 2016, 1-23, DOI 10.1007/s00220-016-2720-x. [KM2] A. Kiesenhofer, E. Miranda, Non-commutative integrable systems on $b$-symplectic manifolds, to appear in Journal of Regular and Chaotic Dynamics, Volume 21, Issue 6 of 2016.
