Resumen de Fórmulas y algoritmos espectrales para wavelets ortonormales y frames ajustados: aplicaciones en el procesamiento digital de imágen médica
Sergio Villullas Merino
La teoría de wavelets ortonormales y su generalización a wavelet frames han demostrado ser herramientas útiles y potentes tanto en el ámbito teórico como en las aplicaciones. Este trabajo presenta algunas aportaciones a dicha teoría y su aplicación al procesamiento digital de imagen médica.
El Capítulo 1 incluye una selección de los conceptos más importantes de la teoría clásica de wavelets ortonormales, poniendo énfasis en la idea de análisis multirresolución (MRA) (Sección 1.2.1). Se definen los conceptos de función de escala, filtro asociado y wavelet multirresolución, y se describe el algoritmo de transformada rápida (en cascada), pieza clave en las aplicaciones. Además, se muestran ejemplos de diversas wavelets ortonormales que verifican propiedades de interés, como soporte compacto, momentos nulos, etc.
Dos operaciones son relevantes en la teoría de wavelets, las traslaciones y las dilataciones. Las fórmulas y algoritmos que se obtienen en este trabajo provienen del “análisis espectral” de estas operaciones. En el Capítulo 2 se construyen modelos espectrales y de tipo “shift” de los operadores de dilatación y traslación en espacios de Hilbert funcionales. Estos modelos dependen de bases ortonormales prefijadas de estructura adecuada (Sección 2.1). Además, en estos modelos es posible obtener una descripción de subespacios ambulantes e invariantes en términos de funciones operador-valuadas rígidas y de rango (Sección 2.2), necesaria para los desarrollos posteriores.
En el Capítulo 3 se detalla la aplicación de los conceptos introducidos en el Capítulo 2 a la teoría de wavelets ortonormales (Sección 3.1) y análisis multirresolución (Sección 3.2). Se muestra, en particular, que es posible describir una wavelet ortonormal mediante una terna de funciones rígidas (Teorema 29), mientras que un análisis multirresolución queda completamente determinado por un par de estas funciones (Teorema 33). Más aún, un par doble de funciones rígidas determina una MRA-wavelet junto con la función de escala (Teorema 35). Fijadas las bases en los modelos espectrales del Capítulo 2, estos resultados dan lugar a condiciones que permiten “calcular” wavelets ortonormales (Teorema 30) y MRA-wavelets y funciones de escala (Teorema 38). En la Sección 3.3 se describen los algoritmos computacionales para obtener MRA-wavelets y funciones de escala de soporte compacto que se derivan del Teorema 38 y la elección de tres bases concretas: la base de Haar (Corolario 42), la base de Walsh-Paley (Corolario 48) y la base trigonométrica (Corolario 57). Cabe destacar que los algoritmos obtenidos permiten calcular los coeficientes de las MRA-wavelets y funciones de escala en las correspondientes bases y no tan sólo una aproximación numérica de sus valores puntuales, como hacen los algoritmos hasta este momento conocidos (cascada, Daubechies-Lagarias, etc). De esta manera, las relaciones de recurrencia en dichos algoritmos determinan expresiones analíticas de estas funciones.
En el Capítulo 4 se presenta el estudio de wavelet-frames mediante técnicas espectrales. El resultado central es la “descomponibilidad” del operador frame en el modelo espectral asociado a las dilataciones (Teorema 61). Además, la estructura del modelo permite obtener expresiones concretas para las componentes y fibras del operador frame en él (Teorema 64). De estos resultados se deriva una descripción manejable de los wavelet-frames ajustados (Corolario 65). En la Sección 4.1.2, la elección de la base de Haar en los modelos espectrales y el Corolario 65 permiten determinar los wavelet-frames ajustados asociados a familias generadoras finitas de soporte minimal. La idea de interés que subyace en esta parte del trabajo es que cada familia generadora de este tipo está asociada a una función operador-valuada interna en el espacio de Hardy de dimensión el cardinal del sistema. Los casos de cardinal 1 y 2 se resuelven completamente. Cabe destacar que (en el caso de cardinal 1) la única función generadora de un wavelet-frame ajustado de soporte minimal es la wavelet de Haar (Corolario 70). En el caso de cardinal 2 se encuentran cinco familias diferenciadas de pares de funciones generadoras (Corolario 77). La Sección 4.2 estudia wavelet-frames asociados a funciones refinables y los Principios de Extensión Unitario y Oblicuo inherentes a ellos (Sección 4.2.2). La aplicación de las técnicas espectrales en este contexto muestra, entre otras cosas, que estos Principios son “condiciones de Lawton generalizadas” (Teoremas 100 y 121). Estos resultados permiten el análisis desde una nueva perspectiva de la teoría clásica de MRA-wavelets ortonormales (Corolario 106, Teorema 108 y observaciones adyacentes) y de la relación entre ambos Principios (Sección Relaciones entre OEP y UEP).
El Capítulo 5 muestra la aplicación de los wavelet frames ajustados de soporte mínimo al ámbito de la eliminación de ruido en imágenes de resonancia magnética. Para ello se define un filtro por contracción probabilística (basado en probabilidades condicionadas) (Sección 5.2). La optimización de dicho filtro se realiza mediante el uso de wavelet-frames ajustados (Sección 5.2.2) que optimicen la diferenciación de las distribuciones de ruido y detalle (Sección 5.2.1). Estas distribuciones se modelan mediante Gaussianas Generalizadas, para las cuales el parámetro β se prefija (Sección 5.2.1). Además, la estimación de los parámetros involucrados se realiza mediante el método de Expectación Maximización (Sección 5.2.3), lo cual elimina la necesidad de estimadores externos. La eficiencia del filtro propuesto se comprueba mediante comparación con otros filtros (Sección 5.1) de eficiencia demostrada en señales simuladas y reales (Sección 5.3).
Finalmente, el Capítulo 6 utiliza el algoritmo de Haar para wavelets ortonormales, mostrado en la Sección 3.3, a la hora de proponer un método de análisis de imágenes de resonancia magnética funcional. Este algoritmo se utiliza para calcular la función de escala que minimice la diferencia entre la dilatada de la función modelo de respuesta hemodinámica y una combinación lineal de dicha función de escala y su trasladada una unidad (Sección 6.2.1). Con esto, se define el método de análisis de señales de resonancia magnética funcional (Sección 6.2) basado en la descomposición wavelet temporal de la señal en cada punto (Sección 6.2.4) a escala dos, desechando los coeficientes de detalle (ruido de alta frecuencia) y filtrando los coeficientes de escala (para eliminar ruido de baja frecuencia) para su posterior reconstrucción. Además, se utilizan filtros espaciales direccionados que permiten aprovechar la estructura morfológica de las regiones de activación (Sección 6.2.3), y a partir de los cuales se generan filtros espaciales adaptados. Finalmente, un post-procesado mediante umbralizado fuerte y comparación de correlación permite eliminar actividad residual y aislada, de forma previa a la creación del correspondiente mapa de activación (Sección 6.2.5). Como opción final, se propone la regularización de las regiones de activación y sus respectivas señales temporales. La potencia del método propuesto se comprueba a través de la comparación con métodos clásicos de análisis (Sección 6.1) en señales de activación simulada y reales (Sección 6.3).
El Capítulo 7 contienen las conclusiones obtenidas en la elaboración de este trabajo, mientras que el Capítulo 8 presenta las futuras líneas de investigación a seguir en trabajos posteriores.
