Convexity, optimization and geometry of the ball in Banach spaces
- Autores: Luis García Lirola
- Directores de la Tesis: Matías Raja Baño (dir. tes.)
, Bernardo Cascales Salinas (dir. tes.) - Lectura: En la Universidad de Murcia ( España ) en 2017
- Idioma: inglés
- Títulos paralelos:
- Convexidad, optimización y geometría de la bola en espacios de Banach
- Tribunal Calificador de la Tesis: Manuel Maestre Vera (presid.) , Ginés López Pérez (secret.) , Robert Deville (voc.)
- Enlaces
- Tesis en acceso abierto en: DIGITUM
- Resumen
- español
El objetivo de esta memoria es el estudio de varios temas en el marco de la geometría de los espacios de Banach, haciendo hincapié en la estructura de conjuntos convexos y su aplicación en espacios de funciones lipschitzianas y sus preduales.
La metodología utilizada ha consistido en el estudio de los temas planteados con los directores de la tesis y con especialistas de otros grupos de investigación. Se ha desarrollado una estancia de tres meses en el Laboratoire de Mathématiques de Besançon bajo la supervisión de Gilles Lancien. Además, se han realizado dos visitas de investigación, la primera a Granada supervisado por Ginés López y la segunda a Besançon supervisado por Antonin Procházka. El doctorando ha acudido a congresos y escuelas para hablar y colaborar con expertos internacionales, estar al tanto de los últimos temas de investigación y presentar sus avances.
A continuación resumimos el contenido de la memoria y los principales resultados obtenidos.
El Capítulo 0 es de carácter introductorio. Incluye resultados conocidos sobre la estructura extremal, un marco general para las derivaciones de conjuntos y algunos resultados sobre productos tensoriales.
El Capítulo 1 trata sobre la clase de conjuntos compactos convexos que admiten una función estrictamente convexa e inferiormente semicontinua. Obtenemos que un compacto convexo pertenece a dicha clase si y solo si se embebe linealmente en un espacio de Banach dual estrictamente convexo dotado de la topología débil*. Además analizamos la existencia de caras de continuidad y de puntos expuestos de continuidad de una función estrictamente convexa. Este capítulo está basado en un trabajo conjunto con J. Orihuela y M. Raja.
En el Capítulo 2 se introduce una versión de la propiedad de Radon-Nikodym para aplicaciones. Probamos que el espacio de aplicaciones con tal propiedad hereda propiedades topológicas y geométricas del espacio de llegada. Además se estudia la relación con la aproximación mediante funciones delta-convexas y se obtiene una versión del principio variacional de Stegall en este contexto. Estos resultados forman parte de un trabajo con M. Raja.
El Capítulo 3 trata sobre espacios fuertemente asintóticamente uniformemente suaves y convexos. Se utilizan estas propiedades para dar una respuesta parcial al problema de si el producto tensorial inyectivo de espacios AUS es AUS. Se aplican los resultados en espacios de Orlicz. Finalmente, se prueba que un producto tensorial inyectivo no trivial nunca es estrictamente convexo. Los resultados se han obtenido en colaboración con M. Raja.
El Capítulo 4 se dedica al estudio de la dualidad de espacios de funciones lipschitzianas vector-valuadas. En particular, se obtienen generalizaciones de los resultados de Weaver y Dalet. Además, se introduce la noción de espacio incondicionalmente casi cuadrado, que se utiliza para dar una respuesta parcial al problema de si existen duales ASQ y adicionalmente para probar que ciertos espacios de funciones lipschitzianas no son duales isométricamente. Este capítulo ha sido elaborado a partir de trabajos conjuntos con C. Petitjean y A. Rueda Zoca.
En el Capítulo 5 se estudian propiedades geométricas de espacios Lipschitz libres y espacios de funciones lipschitzianas. Obtenemos que estos espacios tienen la propiedad de Daugavet si y solo si el espacio métrico es un espacio de longitud, generalizando un resultado de Ivakhno, Kadets y Werner. Además se estudia la estructura extremal de la bola del espacio libre, obteniendo una caracterización de los puntos fuertemente expuestos. Finalmente prueba que el espacio de Pelczynski es isomorfo al espacio libre sobre un compacto convexo, y no es isomorfo al espacio libre sobre c0, lo que resuelve un problema de Cuth, Doucha y Wojtaszczyk. Los resultados incluidos forman parte de varios artículos junto con C. Petitjean, A. Procházka y A. Rueda Zoca.
- English
The aim of this dissertation is the study of several topics in the framework of the geometry of Banach spaces, with a focus on the structure of convex sets and its application in spaces of Lipschitz functions and their predual spaces.
The methodology consisted on the study of the proposed topics with the supervisors and some specialists from other research groups. The student did a three-month stay in the Laboratoire de Mathématiques in Besançon under the supervision of Gilles Lancien. Moreover, he did two research visits, the first one in Granada supervised by Ginés López and the second one in Besançon supervised by Antonin Procházka. The student attended several conferences and schools in order to contact with international experts, be aware of recent research topics and present his progress.
Now we summarise the content of the memory and the main results.
Chapter 0 has an introductory character. It includes known results on the extremal structure, a general framework for set derivations and some results on tensor products.
Chapter 1 deals with the class of compact convex sets which admit a strictly convex lower semicontinuous function. It is showed that a compact convex set belongs to that class if and only if it linearly embeds into a strictly convex dual Banach space endowed with the weak* topology. Moreover the existence of faces and exposed points of continuity for a strictly convex function is analysed. This chapter is based on a joint work with J. Orihuela and M. Raja.
In Chapter 2, a version of the Radon-Nikodym property for maps is introduced. It is showed that the space of maps with such property inherits topological and geometrical properties from the target space. Moreover, it is studied the relation with the approximation by delta-convex maps and it is proved a version of Stegall's variational principle in this context. These results are part of a joint work with M. Raja.
Chapter 3 deals with strong asymptotic uniform smoothness and convexity. These properties are used for providing a partial answer to the problem of whether the injective tensor product of AUS spaces is AUS. The results are applied in Orlicz spaces. Finally, it is showed that non-trivial injective tensor products are not strictly convex. These results were obtained in collaboration with M. Raja.
Chapter 4 is devoted to the study of duality in spaces of vector-valued Lipschitz functions. In particular, the results of Weaver and Dalet have been generalised. Moreover, the notion of unconditional almost squareness is introduced. This notion is used for providing a partial answer to the question of the existence of dual ASQ spaces and for showing that some spaces of Lipschitz functions are not dual ones. This chapter is based on joint works with C. Petitjean and A. Rueda Zoca.
Chapter 5 focuses on geometrical properties of Lipschitz free spaces and spaces of Lipschitz functions. It is showed that theses spaces have the Daugavet property if and only if the underlying metric space is a length space, which is a generalisation of a result by Ivakhno, Kadets and Werner. Moreover, it is studied the extremal structure of the ball of a free space. In particular, it is provided a characterisation of strongly exposed points. Finally, it is showed that Pelczynski's space is isomorphic to the free space on a compact convex set, and that it is not isomorphic to the free space over c0. This solves a problem posed by Cuth, Doucha and Wojtaszczyk. The results that appear in this chapter come from several papers with C. Petitjean, A. Procházka and A. Rueda Zoca.
- español
