Resumen de El Desenvolupament de la geometria no euclidiana a Itàlia /

Miriam Alcalá Vicente

• This PhD thesis is contextualized during the renaissance of non-euclidian geometry, which began towards 1860. It aims to explain the process of diffusion, development and acceptance of the new geometry that took place in Italy. Our research is based on published and unknown correspondence between the principal characters and the analysis of their work in the issue.

  La tesis doctoral que presentamos se sitúa en el momento del renacimiento de la geometría no euclidiana, que se inició hacia el año 1860, y pretende explicar el proceso de difusión, desarrollo y aceptación de la nueva geometría que se dio en Italia. Nuestra investigación se ha basado en la correspondencia, publicada e inédita, entre los protagonistas y en el estudio de las obras sobre la cuestión.

  El proceso de divulgación de la geometría no euclidiana fue impulsado por las traducciones que J. Hoüel y G. Battaglini hicieron de las olvidadas obras de Bolyai y Lobachevsky. Veremos que el papel de los dos matemáticos fue fundamental en el posterior desarrollo de la nueva geometría.

  La reaparición de la geometría no euclidiana ocasionó un interesante debate sobres si debía ser o no aceptada. Con la presentación de los modelos del disco de Beltrami, en 1868, y de Klein, en 1871, se aportaron los argumentos necesarios para finalizar la discusión, ya que constituían una prueba de la consistencia relativa de la nueva geometría.

  Uno de los objetivos principales de la tesis es mostrar que las aportaciones de Giuseppe Battaglini en el campo de la geometría no euclidiana va más allá de la divulgación, que es el mérito que le suelen atribuir los historiadores. Al final de su artículo Sulla geometria imaginaria di Lobatschewsky, nos encontramos con la inesperada coincidencia entre la descripción que hace del plano no euclidiano i el modelo del disco dado por E. Beltrami. Nos proponemos justificar la similitud entre las dos interpretaciones.

  El análisis del escrito de Battaglini, en el que aclararemos sus puntos confusos, mostrará que el autor plantea por primera vez la opción de considerar la geometría imaginaria como incluida en la geometría proyectiva. Ésta es la línea de investigación que posteriormente siguió F. Klein. La lectura de la correspondencia de Battaglini desvelará que el matemático italiano ya tenía en su cabeza muchas de las ideas desarrolladas por Klein.

  Por otro lado, veremos que los trabajos de Beltrami se basan en la teoría de la geometría diferencial introducida por Gauss. El estudio de la geometría no euclidiana de Beltrami parte de aplicar los resultados que había obtenido en un trabajo previo sobre geodesia, donde resuelve el problema de hacer mapas de manera que las geodésicas de la superficie vengan representadas por ecuaciones lineales. Ve, entonces, que la geometría de Lobachevsky es la de las superficies de curvatura constante negativa.

  Concluiremos explicando que las similitudes entre las descripciones de Battalgini y Beltrami a las que nos referíamos antes, son debidas a que las geometrías intrínsecas de todas las superficies de curvatura constante se pueden explicar como casos particulares de la geometría proyectiva, como señala Klein en su memoria de 1871. Beltrami también puso de manifiesto esta relación en su artículo de 1873, y sabemos por sus cartas que era consciente de ella unos años antes, pero no la había llegado a desarrollar. En nuestro estudio, hemos descubierto que Battaglini ya había visto el carácter generalizador de la geometría proyectiva el año 1867.