Resumen de Polinomios biortogonales y sus generalizaciones: una perspectiva desde los sistemas integrables

Gerardo Ariznabarreta García de Cortázar

• español

  La conexión existente entre los polinomios ortogonales y otras ramas de la matemática, la física o la ingeniería es verdaderamente asombrosa. Además, no hay mejor prueba de la utilidad de estos que el propio florecimiento, avance perpetuo y generalización en diversas direcciones de lo que se entendía por polinomio ortogonal en los albores de la teoría. Conforme el concepto se fue generalizando, también fueron evolucionando las técnicas para su estudio, algunas de estas claramente influenciadas por aquellas disciplinas matemáticas con las que iban surgiendo conexiones. La perspectiva que esta tesis adopta frente a los polinomios ortogonales es un ejemplo de este tipo de influencias, compartiendo herramientas y entrelazándose con la teoría de los sistemas integrables.

  Una posición privilegiada en esta tesis la ocuparán las matrices de Gram semi infinitas; cada cual asociada a una forma sesquilineal adaptada al tipo de biortogonalidad en cuestión. A estas matrices se les impondrán una serie de condiciones cuyo objeto será el de garantizar la existencia y unicidad de las secuencias biortogonales asociadas a las mismas. El siguiente paso consistirá en buscar simetrías de estas matrices de Gram. Existen dos razones por las que este esfuerzo resulta ventajoso: ¿ En primer lugar, cada simetría encontrada podrá traducirse en propiedades de las secuencias biortogonales, por ejemplo: una estructura Hankel de la matriz es equivalente a gozar de la recurrencia a tres términos de los polinomios ortogonales; la simetría propia de las matrices asociadas a pesos clásicos (Hermite, Laguerre, Jacobi) implica la existencia del operador diferencial lineal de segundo orden de que los polinomios clásicos son solución; etc.

  ¿ En segundo lugar, las matrices que codifican este tipo de simetrías también sugerirán posibles deformaciones del problema, es decir, permitirán plantear perturbaciones bastante sensatas de la matriz de Gram. Cuando estas deformaciones preserven las condiciones inicialmente impuestas a la matriz de Gram de partida, será posible construir secuencias biortogonales desde el caso deformado y relacionar estas últimas con las originales. En caso de que dichas perturbaciones vengan modeladas por parámetros, se obtendrán secuencias biortogonales con coeficientes teniendo su correspondiente dependencia paramétrica. Resulta que dichos coeficientes son solución de ecuaciones diferenciales propias de la teoría de los sistemas integrables, quedando así patente el entrelazamiento entre las dos disciplinas matemáticas que como decíamos motiva el enfoque de esta tesis.

  Las técnicas que hemos desarrollado y que dan cuerpo a nuestros resultados permiten construir matrices de Gram adaptadas a cada tipo de biortogonalidad y tratan de poner de manifiesto tanto sus propiedades como sus simetrías, quedando estas prácticamente listas para ser transferidas a las secuencias biortogonales y para posteriormente ser deformadas con el ánimo de construir nuevas secuencias partiendo de unas conocidas. El método se ha aplicado con éxito a los siguientes tipos de biortogonalidad:

  ¿ En la recta real: biortogonalidad estándar, matricial, multivariable, múltiple y Sobolev.

  ¿ En la circunferencia unidad: biortogonalidad estándar, matricial y multivariable.

• English

  The existing connection between the theory of orthogonal polynomials and other branches of mathematics, physics and engineering is truly astonishing. There is no better proof of the usefulness of the theory than the recognition of its constant development and the wide generalizations that the original meaning of orthogonal polynomial has experienced since the dawn of the theory. The original concepts were generalized at the same time as the techniques for their study. Many of these new techniques were suggested by the new connections that kept appearing with di erent branches of mathematics. The approach that this thesis presents towards the study of the orthogonal polynomials is an example of such an interrelationship among disciplines, sharing tools and ideas with the theory of integrable systems. A privileged role throughout this thesis will be played by the notion of semi in nite Gram matrices. These will be associated to a sesquilinear form suited to the kind of orthogonality under study. Additionally, some conditions will be imposed on the Gram matrix with the aim of guaranteeing the existence and uniqueness of the associated biorthogonal sequences. The following step consists of searching for any symmetry that the Gram matrix may have. There are two main reasons why such a task is worth the e ort. In the rst place, each found symmetry can be translated into a property of the biorthogonal sequences, for example: The Hankel structure of the matrix is equivalent to the well known three term recurrence relation satis ed by the standard orthogonal polynomials; the symmetry that the classical (Hermite, Laguerre, Jacobi) matrices possess induces the existence of the second order linear di erential operator of which the classical orthogonal polynomials are solutions; etc. In the second place, the matrices that codify these kind of symmetries also help to surmise possible deformations of the problem, this is, they suggest wise perturbations of the Gram matrix...