Resumen de Homogenization and shape differentiation of quasilinear elliptic equations
David Gómez Castro
Esta tesis se ha divido en dos partes de tamaños desiguales. La primera parte, que se ha dividido en 4 capítulos, es la componente central del trabajo del candidato. Se encarga de la optimización de reactores químicos de lecho fijo, y el estudio de su efectividad, como se expondrá en los siguientes párrafos. La segunda parte es el resultado de la visita del candidato al Prof. Häim Brezis en el Instituto Tecnológico de Israel Technion en Haifa, Israel.
El primer capítulo se centra en la modelización, obtener un modelo macroscópico (homogéneo) a partir de un comportamiento microscópico prescrito. A este método se le conoce como homogeneización. La idea es considerar partículas periódicamente repetidas, de forma fija, a una distancia, y que han sido reescaladas por un factor. El objetivo es estudiar los diferentes comportamientos cuando límite cuando el tamaño de las partículas va a 0, y ya no se consideran las partículas. Se distinguen los casos de partículas grandes y pequeñas de tamaños, crítico, sub y supercrítico. En términos generales, existe un valor de factor de escalamiento tal que los comportamientos de los casos cuatro comportamientos citados son significativamente distintos. Se han estudiado los diferentes casos y obtenido ecuaciones homogéneas, que mejoran muchos resultados previos.
El segundo capítulo trata sobre estimaciones a priori del factor de efectividad de las reacciones químicas, un funcional que depende de la solución del problema límite obtenido en el Capítulo 1. Este problema viene motivado, por ejemplo, por la aplicación en reactores de tratamiento de aguas residuales. Una vez que se ha obtenido el problema homogeneizado, nuestro objetivo es decidir qué reactores son optimizadores de este funcional, y dar cotas para la efectividad. En este sentido, hemos trabajado con la optimización de Steiner, que permite comparar reactores de la forma con reactores cilíndricos de la de base un círculo.
El tercer capítulo trata con técnicas de optimización de formas directas. Se ha organizado en dos secciones, diferenciación de formas y optimización convexa. La diferenciación de formas es una técnica que, dada una forma inicial caracteriza el cambio infinitesimal de la solución de nuestro problema homogeneizado cuando se considera una deformación. Se ha estudiado primero el caso sencillo en que la no linealidad del problema es suave, como punto de apoyo para el caso no suave. Otra de las técnicas que hemos usado es la optimización convexa directa de la forma de las partículas. Si solo consideramos el conjunto admisible de formas dentro de la familia convexa, entonces podemos obtener la existencia de extremos.
El cuarto capítulo trata con ecuaciones elípticas con un potencial donde el potencial, V, explota cerca del borde. Este tipo de ecuaciones aparecen como resultado del proceso de diferenciación de formas del Capítulo 3, en el caso en que aparece un dead core. El problema con un término de transporte fue también estudiado. Se obtuvieron diferentes resultados de existencia, regularidad y unicidad de soluciones. Uno de los resultados más sorprendentes es que pueden usarse integrabilidad respecto a pesos a modo de condición de contorno Dirichlet homogénea. Se incluyen en esta tesis algunos resultados no publicados, sugeridos por Häim Brezis, que mejoran a los publicados en algunos casos.
El quinto capítulo desarrolla la segunda parte de la tesis, e incluye resultados obtenidos durante la visita en 2017 al Prof. Häim. Se mejoran algunos resultados previos con el grupo de Ron Kimmel, sobre la existencia y unicidad de bases óptimas para representación de funciones en el espacio de Sobolev de funciones con derivada de cuadrado integrable dentro del espacio de funciones de cuadrado integrable.
