Resumen de An Integral Representation and Pointwise Inequality for the Fractional Laplace-Beltrami Operator

Angel David Martínez Martínez

• En esta tesis se presentan resultados relativos al operador fraccionario, definido espectralmente, sobre las funciones de una variedad riemanniana M. Los resultados obtenidos son herramientas que permiten probar teoremas sobre regularidad de soluciones de la ecuación cuasigeostrófica superficial (SQG) en la esfera dos dimensional. La motivación del estudio de dicha ecuación proviene de la meteorología y de sus similitudes analÍticas con la ecuación de Euler tres dimensional. La tesis comienza con dos capÍtulos introductorios (castellano e inglés, respectivamente) en los que se describen los resultados expuestos y sus aplicaciones. Concluimos este resumen indicando brevemente el contenido del resto:

  Chapter 3: se prueba un resultado fundamental para el operador de Dirichlet-Neumann, una desigualdad puntual que extiende la de Córdoba-Córdoba. La prueba se basa en una aplicación del lema de Hopf.

  Chapter 4: se extiende la desigualdad de Córdoba-Córdoba (conocida en el espacio euclÍdeo con anterioridad) a variedades compactas arbitrarias mediante tcnicas de subordinacin de operadores.

  Chapter 5: este capítulo trata el operador de Laplace-Beltrami y, en concreto, como ciertas cotas de las normas L^p de autofunciones están relacionadas con un problema de restricción a escalas pequeas para cier- tas variedades que incluyen las superficies compactas de curvatura constante.

  Chapter 6: se prueba una útil representación integral para el operador fraccionario en variedades.