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Sistemas dinámicos en modelos estocásticos con ruido fraccionario

  • Autores: Javier López de la Cruz
  • Directores de la Tesis: Tomás Caraballo Garrido (dir. tes.) Árbol académico, María José Garrido Atienza (dir. tes.) Árbol académico
  • Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 2018
  • Idioma: español
  • Número de páginas: 160
  • Tribunal Calificador de la Tesis: José Valero Cuadra (presid.) Árbol académico, Antonio Suárez Fernández (secret.) Árbol académico, José Antonio Langa Rosado (voc.) Árbol académico, Renato Colucci (voc.) Árbol académico, Peter E. Kloeden (voc.) Árbol académico
  • Enlaces
    • Tesis en acceso abierto en: Idus
  • Resumen
    • La presente tesis doctoral, que se enmarca en las ramas de conocimiento del Análisis Matemático así como de la Matemática Aplicada, está dedicada al modelado y análisis de los efectos causados por diferentes tipos de perturbaciones, tanto estocásticas como aleatorias, en modelos de quimiostato, experimentos de laboratorio realmente interesantes y útiles a la hora de entender numerosos procesos biológicos. Gracias a considerar procesos estocásticos, es posible obtener modelos matemáticos mucho más realistas, desde el punto de vista biológico, que reflejan de una manera más fiel los experimentos que se llevan a cabo en el laboratorio. Las técnicas basadas en la moderna teoría de los Sistemas Dinámicos Aleatorios así como los atractores pullback nos permitirán investigar el comportamiento asintótico en tiempo de los correspondientes sistemas estocásticos y, por tanto, podremos obtener información detallada sobre su comportamiento a largo plazo. De esta forma, podremos tomar una decisión acerca de qué tipo de ruido es más adecuado a la hora de modelar diversas situaciones reales.

      En el Capítulo 1, nuestro objetivo es analizar los efectos de perturbaciones estocásticas en el flujo de entrada de los modelos de quimiostato haciendo uso del proceso de Wiener estándar. Demostraremos algunos teoremas sobre la existencia y unicidad de solución global así como la existencia y unicidad de un atractor pullback aleatorio. Además, mostraremos diversas simulaciones numéricas que reflejarán los resultados teóricos probados a lo largo del capítulo. Sin embargo, podremos observar algunos inconvenientes debidos al uso de este ruido no acotado, por ejemplo, veremos que algunas variables pueden llegar a tomar valores negativos, algo completamente irrealista, aunque el análisis matemático se pueda llevar a cabo sin ningún problema. Otro de los inconvenientes encontrados es que no es posible demostrar la persistencia de las especies debido a que el flujo de entrada del quimiostato podría tomar valores arbitrariamente grandes. En vista de los inconvenientes citados, tendremos que tomar una decisión para cambiar la forma de modelar el flujo de entrada del quimiostato ya que, o bien este tipo de ruido no es realista, o bien deberíamos introducirlo de alguna otra forma.

      En el Capítulo 2, analizamos los efectos de perturbaciones aleatorias en el flujo de entrada del quimiostato por medio de un proceso de Ornstein-Uhlenbeck. Tal proceso contará con un parámetro de control que nos permitirá controlar el ruido de tal forma que todas sus realizaciones permanezcan en una banda estrictamente positiva para cualquier tiempo. Gracias a esta nueva idea, mucho más realista desde el punto de vista biológico, también seremos capaces de garantizar la persistencia de las especies en ambos casos, con y sin pared, principal objetivo desde el punto de vista biológico. Demostraremos la existencia y unicidad de solución global y también probaremos la existencia de conjuntos compactos absorbentes y atrayentes para las soluciones de los correspondientes sistemas. No obstante, el aspecto más interesante de este nuevo marco de trabajo es que tales conjuntos no dependerán del ruido y, además, se demostrarán en sentido forward, lo cual supone una diferencia significativa con respecto al resto de capítulos de esta tesis doctoral y, también, respecto a los resultados que podemos encontrar en la literatura. Finalmente, mostraremos diversas simulaciones numéricas que reflejarán los resultados demostrados a lo largo del capítulo y haremos una comparación de esta forma de modelar perturbaciones en el flujo de entrada del quimiostato con la que se usa en el Capítulo 1. Gracias a ello, podremos observar las grandes ventajas que tiene el uso del proceso de Ornstein-Uhlenbeck a la hora de modelar este tipo de situaciones. De hecho, en vista de los beneficios tan interesantes que se han logrado a lo largo del desarrollo de esta nueva idea, nos replantearemos visitar otros modelos, no necesariamente sólo los de quimiostato, ya que podrían obtenerse resultados interesantes.

      En el Capítulo 3, analizamos los efectos medioambientales causados en los modelos de quimiostato por el proceso de Wiener estándar. Sin embargo, en este caso introduciremos las perturbaciones estocásticas de tal forma que todas las realizaciones del ruido mantengan las soluciones del sistema positivas, hecho razonable desde el punto de vista biológico. En esta ocasión, también conseguiremos ciertas mejoras respecto a los modelos analizados previamente por otros autores, no sólo en el caso estocástico sino también en el determinista. Demostraremos algunos teoremas sobre la existencia y unicidad de solución global, así como la existencia y unicidad de un atractor pullback aleatorio. Finalmente, mostraremos algunas simulaciones numéricas que reflejarán los resultados probados a lo largo del capítulo.

      Por último, en el Capítulo 4, analizaremos los efectos causados en los modelos de quimiostato por un nuevo proceso estocástico: el movimiento Browniano fraccionario, que es una generalización del proceso de Wiener o movimiento Browniano estándar. Gracias a esta nueva idea, seremos capaces de considerar diferentes tipos de términos de difusión estocástica que podrán ir mucho más allá de los términos aditivos o lineales multiplicativos, como ocurre en el caso en el que usamos el proceso de Wiener estándar. Sin embargo, para poder tratar con este nuevo ruido, necesitaremos definir una nueva integral respecto del movimiento Browniano fraccionario, que llamaremos integral fraccionaria. Demostraremos la existencia y unicidad de solución global en ciertos espacios de Hölder, sin embargo, en este caso necesitaremos tratar explícitamente con el ruido con lo que necesitaremos introducir una sucesión de tiempos de parada que nos ayude a controlar el tamaño del ruido. De esta forma, probaremos también la existencia y unicidad de un atractor pullback aleatorio discreto y, posteriormente, estableceremos la existencia y unicidad del correspondiente atractor pullback aleatorio continuo. Posteriormente, realizaremos un análisis de los tiempos de parada que nos permitirá dar sentido a las condiciones impuestas a lo largo del estudio matemático previo, así como realizar algunas conclusiones. Finalmente, mostraremos algunas simulaciones numéricas que nos permitirán observar los efectos de este nuevo ruido con los modelos de quimiostato.


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