Integración bilineal: Productos de medidas vectoriales y operadores de carleman

• Autores: Juan Carlos García Vázquez
• Directores de la Tesis: Francisco José Freniche Ibáñez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 1997
• Idioma: español
• Número de páginas: 121
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  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen

  • La memoria está dedica al estudio de tres temas de Análisis Funcional, siendo su principal punto de unión la integración vectorial.

    En el primer Capítulo de la Tesis estudiamos algunos aspectos del espacio de las funciones Pettis integrables fuertemente medibles. La integral de Pettis y la de Bocher son dos generalizaciones diferentes de la integral de Lebesgue al caso de funciones valoradas en espacios de Banach de dimensión infinita. Como se observa en [D-U], la integral de Bochner es una abstracción inmediata de la integral de Lebesgue, reemplazando el valor absoluto por la norma del espacio; de este modo, muchas (aunque no todas) de las propiedades de las funciones escalares integrables Lebesgue se traducen directamente al caso de funciones integrables Bochner. Sin embargo no ocurre lo mismo con la integral de Pettis. Por ejemplo, el espacio P1(λ, X) de funciones fuertemente medibles Pettis integrables respecto de la medida positiva λ con valores en un espacio de Banach X infinito dimensional, no es completo, ver [J-K]. existen otros resultados que contrastas la diferente naturaleza de estas dos generalizaciones: en 1938, Pettis [Pe] se plantea la cuestión de su una función Pettis integrable respecto de la medida de Lebesgue cumple el Teorema de diferenciación de Lebesgue. La respuesta es que no: en 1995 Dilworth y Girardi [D-G] demuestran que existen funciones Pettis integrables fuertemente medibles que no cumplen el Teorema de diferenciación de Lebesgue en ningún punto. Este tipo de función resulta ser no integrable Bochner sobre ningún intervalo.

    En el capítulo 1 estudiamos si al igual que para las funciones integrables en el sentido Bochner, la convolución de una función Pettis integrable definida en el toro T con valores en un espacio de Banach complejo, con el núcleo de sumabilidad de Fejér o con el de Poisson converge a la función en algún sentido. Demostramos en la segunda Sección de este Capítulo que la convolución con cualquiera de los dos núcleos anteriores converge en norma Pettis, pero no puntualmente: en el Teorema 1.2.4 damos para cada espacio de Banach X de dimensión infinita una función Pettis integrable, fuertemente medible, con valores en X tal que su convolución con el núcleo de Fejér (o con el de Poisson) no converge ni siquiera débilmente a la función en ningún punto.

    En la tercera Sección de este Capítulo fijamos nuestra atención sobre el espacio de las funciones Pettis integrables respecto de la medida d Lebesgue en el toro que son analíticas, esto es, que sus coeficientes de Fourier negativos son nulos. Primeramente demostramos que para cada espacio de Banach X de dimensión infinita existe una función fuertemente medible analítica, Pettis integrables, que no es Bochner integrable. Probamos que este espacio funcional, dotado de la norma inducida como subespacio cerrado de P1(T, X), no es completo. También nos planteamos si es posible dar una función analítica Pettis integrable cuya convolución con alguno de los núcleos anteriores no converja puntualmente a la función: aunque este problema no ha sido resuelto, si podemos dar para cada espacio de Banach X de dimensión infinita una medida vectorial numerablemente aditiva analítica, valorada en X, tal que su convolución con el núcleo de Fejér (o el de Poisson) no converge en ningún punto (Teorema 1.3.4.). En relación con este último problema abierto, también desconocemos si existen funciones analíticas Pettis integrables que no sean Bochner integrables sobre ningún intervalo.

    En el segundo Capítulo estudiamos algunos problemas sobre el producto de medidas vectoriales: existe una forma natural de definir el producto de dos medidas vectoriales numerablemente aditivas con valores en dos espacios de Banach respecto de una aplicación bilineal continua sobre el álgebra formada por los rectángulos medibles. En 1970, I. Kluvanek [K] probó que, a diferencia con el caso escalar, si las medidas vectoriales toman valores en un espacio de Banach de dimensión infinita, el producto no siempre puede extenderse de forma numerablemente aditiva a la σ-álgebra generada por los rectángulos medibles; su ejemplo utiliza el producto tensorial proyectivo de dos medidas vectoriales. Posteriormente, en 1972, respondiendo a un problema planteado por P. Masani, los autores Bhaskara Rao [Bh], y Dudley y Pakula [D-P], demuestran que existen medidas con valores en l2 cuyo producto respecto del producto escalar natural no puede extenderse de forma numerablemente aditiva a la σ-álgebra producto: el primero dando una medida producto no numerablemente aditiva sobre el álgebra de los rectángulos medibles y los segundos dando un ejemplo de una medida producto no acotada sobre el álgebra.

    Los primeros trabajos donde aparecen condiciones que aseguran la existencia de la extensión son debidos a M. Duchon e I. Kluvanek [D-K], [D], donde se demuestra que el producto tensorial inyectivo (ver párrafo posterior al Teorema 2.1.4.) de dos medidas siempre puede extenderse de forma numerablemente aditiva, y lo mismo para el caso en que una de las medidas tenga variación acotada. Algunos años más tarde, en 1975, utilizando la semivariación de la medida vectorial respecto de la aplicación bilineal, C. Swartz [S1] redemuestra los resultados anteriores dando un teorema más general:

    Si μ es una medida numerablemente aditiva con valores en X, dominada respecto de la aplicación bilineal Φ: X x Y → Z, entonces el producto de μ con cualquier medida numerablemente aditiva valorada en Y respecto de Φ puede extenderse de forma numerablemente aditiva a la σ-álgebra producto.

    Hay que decir que los resultados anteriores son todos obtenidos en el contexto de espacios vectoriales topológicos locamente convexos, pero nosotros nos limitaremos a medidas con valores en espacios de Banach. En la Sección 1 definimos el concepto de semivariación de una medida respecto de una aplicación bilineal así como el de dominación, que fueron introducidos por Bartle [B] para el estudio de la integración bilineal, y que resultan ser cruciales en el estudio del problema de extensión de la medida producto.

    En la segunda Sección del Capítulo 2 nos fijamos en el caso de que Φ sea una forma bilineal, esto es, tome valores en el cuerpo de los escalares. Si Φ es una forma bilineal integral en el sentido de Grothendjeck, como consecuencia inmediata de que el producto tensorial inyectivo de dos medidas siempre puede extenderse de forma numerablemente aditiva, se obtiene que el producto de cualquier par de medidas respecto de Φ puede extenderse. Estudiamos hasta que punto esta condición es necesaria. Teniendo en cuenta la identificación existente entre el espacio de formas bilineales y continuas definidas sobre X x Y y el espacio de los operadores lineales y continuos L (X, Y*), y un teorema de C. Piñeiro y L. Rodríguez Piazza [P-R], demostramos en el Teorema 2.2.2 que un operador lineal u : X → Y* es 1-sumante si y solo si para cada par de medidas numerablemente aditivas μ : Ʃ → X y v : Θ → Y, su producto respecto de Φμ, la forma bilineal asociada a μ, puede extenderse de forma numerablemente aditiva a la σ-álgebra generada por los rectángulos medibles.

    En la tercera Sección se responde a la siguiente pregunta, planteada en [S1]: si Φ es una aplicación bilineal sobre X x Y fijada y μ : Ʃ → X es una medida numerablemente aditiva tal que para cualquier otra medida numerablemente aditiva v : Θ → Y, el producto de ambas respecto de la bilineal puede extenderse, ¿está necesariamente μ dominada respecto de Φ? En la Proposición 2.3.1. demostramos que la respuesta es negativa dando una medida numerablemente aditiva con valores en l2 cuyo producto tensorial proyectivo con respecto a cualquier medida con valores l1 puede extenderse, pero no está dominada respecto de la correspondiente aplicación bilineal. En el resto de la Sección ponemos diferentes ejemplos mostrando que la condición de dominación no es necesaria en absoluto para asegurar la existencia de la extensión de la medida producto. También estudiamos algún tipo de condición de dominación de la medida respecto de la aplicación bilineal que si es necesaria.

    En la Sección 4 definimos el concepto de facto. Se dice que X es factor de Y si el producto de cualquier par de medidas numerablemente aditivas con respectivos valores en X e Y respecto de cualquier aplicación bilineal definida sobre X x Y tiene extensión numerablemente aditiva. Del mismo modo definimos factor compacto poniendo la condición de que las medidas tengan rango relativamente compacto. Se probó en [B-S] que c0 no es factor de lp para p ∈ [1, ∞].

    Dos hechos claves: si el producto proyectivo de dos medidas puede extenderse, entonces puede extenderse el producto de ambas respecto de cualquier aplicación bilineal y que ser factor compacto tiene naturaleza finito dimensional, nos permiten probar que lp es un factor de lp i y solo si p,q ∈ [1,2] y min {p,q} = 1 (Teorema 2.4.4). en la prueba de este resultado utilizamos un teorema de Rosenthal y Szarek [R-S] sobre el producto tensorial de series incondicionalmente convergentes en un L1 (α)-espacio.

    Para terminar el Capítulo, en la Sección 5 introducimos la definición de factor universal. Diremos que X es un factor universal si es factor de todo espacio de Banach, y lo mismo con factor universal compacto. El resultado central de la Sección es el siguientes: X es un factor universal compacto si solo si II1 (X, l1) = L (X, l1), si y solo si para cada medida vectorial numerablemente aditiva con rango relativamente compacto μ : Ʃ → X existe una medida numerablmente aditiva v, con valores en X, de variación acotada tal que rg(μ) ϲ rg(v), donde II1 (X, l1) es el espacio de los operadores 1-sumantes de X en l1 y rg(μ) nota el rango de la medida μ.

    Como consecuencia del resultado anterior obtenemos que X es un factor universal compacto si y solo si es factor c0, si y solo si X y X* verifican el Teorema de Grothendieck, esto es, L (X, l2) = II1 (X, l2) y lo mismo con X*. este corolario demuestra, en particular, que existen factores universales compactos de dimensión infinita; sin embargo, desconocemos si ser factor universal implica tener dimensión finita. La Sección termina viendo una relación de estos resultados con ciertos problemas sobre sucesiones contenidas en el rango de una medida vectorial, que han sido considerados en [P-R]. concretamente, si ∑_(n=1)^∞▒xn una serie incondicionalmente convergente en X, se define la suma de los segmentos [-xn,xn] por ∑_(n=1)^∞▒〖[-xn,xn]〗 = {∑_(n=1)^∞▒〖αnxn:〗 〖(αn)〗_(n=1)^∞ ∈ l∞,||(αn)_(n=1)^∞||∞≤1}.

    Con esta notación se demuestra en el Teorema 2.5.9 que X es un factor universal compacto si y solo si toda suma de segmentos ∑_(n=1)^∞▒〖[-xn,xn]〗 definida por una serie ∑_(n=1)^∞▒xn incondicionalmente convergente en X, cae dentro de una suma de segmentos ∑_(n=1)^∞▒〖[-yn,yn]〗 definido por una serie ∑_(n=1)^∞▒yn absolutamente convergente en X.

    En el tercer Capítulo estudiamos un tipo especial de operadores integrales, los llamados operadores de Carleman, y su relación con la integración bilineal de Bartle. Clásicamente, un operador u : L2([0,1]) → L2 ([0,1]) es un operador de Carleman si existe una función real K (s, t) medible respecto de la medida producto, tal que para cada f ∈ L2([0,14]) u(f)(s) = ∫_([0,1])▒〖K(s,t)fdt,〗, para casi todo s (esto es, u es un operador integral), y además las secciones Ks(·) = K (s,·) pertenecen a L2([0,1]). El estudio de este tipo de operadores es iniciado por Carleman en los años 20, y posteriormente han sido profusamente estudiados, conociéndose varias caracterizaciones de los mismos. El siguiente resultado puede encontrarse en [W]:

    Para un operador u : L2([0,1]) → L2([0,1]) las condiciones siguientes son equivalentes:

    (1) u es un operador de Carleman.

    (2) Existe una función g, positiva y medible tal que para toda f ∈ L2([0,1]) se tiene |u(f)(s)|≤||f||2g(s) en caso todo s.

    (3) Para dota sucesión 〖(fn)〗_(n=1)^∞ convergente en norma a cero en L2([0,1]), se tiene que la sucesión imagen (u(fn))_(n=1)^∞ converge a cero puntualmente en casi todo s.

    La condición (2) se conoce como condición de Korotkov.

    Se han seguido varios caminos diferentes para extender la definición de operadore de Carleman a situaciones más generales. En los años 80 aparecen extensiones al caso de operadores definidos entre retículos de Banach de funciones medibles [Sc],[V]; también ha sido considerado el caso aún más general de operadores definidos sobre un espacio de Banach con valores en un retículo de Banach de funciones medibles [G-U], [G-E]. mientras que en [G-E] la definición de operador de Carleman sigue la idea de la anterior condición equivalente (2) de operador de Carleman clásico, en [G-U] se considera la siguiente definición.

    Sea 0 ≤ p ≤ ∞, y (S, Ʃ, σ) un espacio de medida finito. Un operador u : X → Lp (S, σ) se dice de Carleman si existe una función fuertemente medible F : S → X* tal que para cada x ∈ X se tiene que u(x)(s) = x(F(s)), en casi todo s ∈ S.

    Con esta definición Gretsky y Uhl demuestran en 1983 que un operador de Carleman L-w-compacto lleva conjuntos débilmente condicionalmente compactos en conjuntos compactos.

    Siguiendo la línea de [G-U], en la Sección 2 generalizamos la definición de Carleman a operadores definidos sobre un espacio de Banach con valores en un retículo de Banach abstracto orden continuo con unidad débil (Definición 3.2.1). La definición es tal que si el retículo abstracto considerado es un espacio de funciones definidas sobre un espacio de medida finito (S, Ʃ, σ) entonces un operador u : K → L es de Carleman si y solo si existe una función fuertemente medible F : S → X* tal que u(x) = x(F(·)) para todo x ∈ X. también consideramos la definición de operador de Korotkov, que se corresponde con los operadores que tienen asociada una función F que es w-escalarmente medible.

    En la Sección 3, utilizando como herramientas una representación del retículo L como el espacio de Banach de funciones integrables respecto de cierta medida vectorial v : Ʃ → Y [C] y la integración bilineal de Bartle, obtenemos en el Teorema 3.3.4 que un operador de Carleman L-w-compacto es compacto. Una vez representado el retículo L de esta forma, demostramos que el núcleo fuertemente medible asociado a un operador de Carleman compacto es integrable en el sentido de Bartle respecto de v y la aplicación bilineal natural con valores en el producto tensorial inyectivo; el recíproco también es cierto: una función F fuertemente medible con valores en X* integrable Bartle respecto de v y esa aplicación bilineal es el núcleo de un operador de Carleman compacto de X en L. Estudiamos también otras condiciones equivalente de ser integrable Bartle respecto de la bilineal natural con valores en el producto tensorial inyectivo, y se demuestra en la Proposición 3.3.8. que una de estas condiciones no es válida para el caso proyectivo.

    La Sección 4 se dedica a estudiar el espacio de los operadores de Carleman compactos, encontrando ciertas analogías entre espacio y el de las funciones fuertemente medibles Pettis integrables. Demostramos en el Teorema 3.4.8 que si el espacio de Banach es infinito dimensional y el retículo no es puramente atómico entonces existen operadores compactos que no son de Carleman (ni siquiera de Korotkov): esto prueba en particular la incompletitud del espacio de los operadores de Carleman, y redemuestra el siguiente teorema de Roberts [R] para el caso no atómico:

    Si L es un retículo de Banach orden continuo y todos los operadores lineales y continuos de X en L son orden acotados entonces X es de dimensión finita.

    En la última Sección estudiamos la validez del Teorema de Fubini para el producto tensorial inyectivo de medidas vectoriales. Se demuestra que no es posible en general dar un teorema del tipo de Fubini, y utilizando algunas caracterizaciones de la integrabilidad Bartle vistas en las secciones anteriores se estudian algunos casos en que si es posible, por ejemplo, cuando las funciones están esencialmente acotadas o una de las medidas es atómica.