Nuevas contribuciones sobre L1 de una medida vectorial

• Autores: Olvido Delgado Garrido
• Directores de la Tesis: Guillermo Curbera Costello (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 2004
• Idioma: español
• Número de páginas: 84
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen

  • El origen de la integración de funciones escalares respecto de una medida vectorial se remonta al año 1955, cuando Bartle, Dunford y Schwartz extienden al caso vectorial el teorema de representación de Riesz. La versión clásica de este teorema establece que todo funcional lineal y positivo T: C(K) → ℂ, donde K un espacio de Hausdorff compacto y C(K) es el espacio de funciones escalaeres y continuas sobre K, se puede representar como un operador de integración respecto de una medida regular de Borel μ sobre K, es decir, T (ƒ) = ʃ ƒdμ para todo ƒϵ C(K).

    En la versión vectorial se consideran operadores T: C(K) → X lineales y continuos, con valores en un espacio de Banach X, Bartle, Dunford y Schwartz [BDS, Theorem 3.2] prueban que, bajo la condición de que T sea débilmente compacto, existe una medida vectorial υ : B(K) → X, definida sobre la σ-álgebra B(K) de los conjuntos de Borel de K, tal que T(ƒ) = ʃ ƒdυ para todo ƒ ϵ C(K).

    Para llegar a este resultado, fue necesario el desarrollo de una teoría de integración de funciones escalares respecto de una medida vectorial υ: Ʃ → X, definida sobre una σ-álgebra Ʃ y con valores en un espacio de Banach X. Dicha teoría se creó partiendo de una definición tipo Lebesgue para la integral ʃ ƒdυ de una función ƒ respecto de υ.

    Posteriormente, en 1970, Lewis constituye una teoría de integración de funciones escalares respecto de una medida vectorial υ con valores en un espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente convexo X, donde la integral de una función f respecto de υ, ʃ ƒdυ, ʃ ƒdυ¸ está definida por dualidad.

    Esta teoría es equivalente a la de Bartle, Dunford y Schwartz cuando nos restringimos al caso en el que X es un espacio de Banach.

    El espacio L1 (υ) de funciones integrables respecto de una medida vectorial υ con valores en un espacio de Banach X, ha sido estudiado en profundidad, y actualmente sus propiedades, así como las relaciones de éstas con las propiedades de la medida υ y del espacio X, son bien conocidas gracias a numerosos trabajos. Destacamos entre ellos los siguientes: Kluvanek y Knowles [KK]; Ricker [R1], [R2]; Okada [O]; Curbera [C2], [C3], [C4]; Okada y Ricker [OR1], [OR2], [OR3]; Okada, Ricker y Rodríguez-Piazza [ORR]; Sánchez Pérez [S1], [S2], [S3].

    En la mayor parte de los trabajos citados anteriormente se consideran funciones reales y espacios vectoriales reales, aprovechándose en este caso la simplicidad de la estructura reticular de L1(υ).

    Recientemente, con las publicaciones de Ricker [R3]; Curbera [C5]; Curbera y Ricker [CR1]; [CR2]; y Okada y Ricker [OR4], se ha constatado la utilidad de la integración respecto de medidas vectoriales en el estudio de los dominios óptimos respecto de medidas vectoriales en el estuduo de los dominios óptimos para operadores clásicos. En un marco general, dado un espacio de Banach de funciones E ([LT, Definition 1.b.17]) respecto de un espacio T : E → X, un procedimiento clásico es asociar a T la función de conjuntos υ una medida vectorial, el espacio L1(υ) es el dominio óptimo para T dentro de la clase de los espacios de Banach de funciones orden continuos, es decir, L1(υ) es el mayor de esta clase de espacios, al que T puede ser extendido de manera continua conservando sus valores en X. Esta identificación del dominio óptimo de T es muy positiva en el sentido de que el espacio L1(υ) es un retículo de Banach con propiedades deducibles de las propiedades de υ (que provienen de las de T) y de las propiedades de X.

    La finitud del espacio de medida respecto del cuál E es espacio de Banach de funciones es imprescindible, pues en caso contrario la función de conjuntos υ asociada a T podría no estar definida para conjuntos de medida infinita. Esto ocurre por ejemplo con la transformada de Hilbert sobre la recta real. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar si consideramos υ definida sobre una estructura más débil que σ-álgebra, precisamente un δ-anillo (i.e. anillo cerrado por intersecciones numerables). En el c aso de la transformada de Hilbert, la función de conjuntos asociada está definida para conjuntos de medida finita y estos forman un δ-anillo.

    Nosotros nos hemos planteado extender el resultado de Curbera y Ricker para operadores T definidos sobre espacios de Banach de funciones respecto de espacios de medida infinita, considerando la función de conjuntos υ asociada a T definida sobre un δ-anillo. Esto conlleva realizar un estudio acerca de la integración respecto de estas medidas y del correspondiente espacio de funciones integrables.

    La teoría de integración respecto de medidas vectoriales definidas sobre δ-anillos, fue estudiada en 1972 por Lewis [L2] como extensión del trabajo realizado en [L1] dos años antes, y continuada en 1989 por Masani y Niemi [MN1], [MN2].

    La presente memoria consta de dos líneas de investigación dentro del contexto de las medidas vectoriales con valores en un espacio de Banach real. La primera 8Capítulo 1) contribuye a la compresión del espacio L1(υ) para una medida vectorial υ clásica (definida sobre una σ-álgebra), mediante el estudio de lo que llamaremos subespacios de Banach de funciones de L1(υ). En la segunda, nos situamos en el marco más amplio de las medidas vectoriales v definidas sobre un δ-anillo, estudiando, por un lado las propiedades reticulares de L1(υ) y las relaciones de éstas con las propiedades analíticas de v (Capítulo 2), y por otro, el problema de determinación del dominio óptimo para operadores entre espacios de funciones relativos a espacios de medida infinita, mediante aplicación de la integración respecto v (Capítulo 3).

    La esencia del Capítulo 1 se muestra con el sencillo hecho de que dada una medida positiva y finita μ y p ϵ (1, ∞), el espacio Lp(μ) está continuamente contenido en L1(μ) y se puede describir en términos de μ como el espacio de funciones f tales que f`p es integrable respecto de μ. Consideramos el caso de una medida vectorial v: Ʃ→X definida sobre una σ-álgebra Ʃ y con valores en un espacio de Banach X, cuyo espacio L1(v) es un espacio de Banach de funciones orden continuo respecto de cierto espacio de medida finita (Ω, Ʃ, λ), [C2, Theorem 1]. Tomando un espacio de Banach de funciones Y respecto de (Ω, Ʃ, λ), continuamente contenido en L1(v), al que llamaremos subespacio de Banach de funciones de L1(v), abordamos el siguiente problema: ¿Es posible describir Y en términos de la medida vectorial v? La herramienta que resuelve el problema anterior, es cierta aplicación p : X* x M → [0, ∞], donde X* es el espacio dual de X y M es el espacio de funciones medibles (relativas a Ʃ), que tiene propiedades naturalmente relacionadas con v, y a la que llamamos función v-norma. A partir de una función v-norma p, construimos un subespacio de Banach de funciones E(pv) de L1(v), mediante la clausura de las funciones simples en el espacio de las funciones f de M tales que Pv(f) = ■(sup@x*ϵBx*) p (x*,f) < ∞, Respecto de la norma Pv. Este método nos permite definir espacios de Orlicz Lɸ(v) respecto de la medida vectorial v, como espacios E (pv) para una función v-norma p adecuada, obteniéndose en el caso de swer ɸ una función de Orlicz con la propiedad Δ2, que Lɸ(v) es el espacio de funciones de f de M tales que ɸ (f) es integrable respecto de v.

    Finalizamos el capítulo probando que todo subespacio de Banach de funciones Y de L1(v) que sea orden continuo, se puede representar como un espacio E(pv) generado por una función v-norma p (Teorema 1.17). De esta manera la cuestión planteada queda resuelta positivamente para subespacios de Banach de funciones orden continuos de L1(v).

    En el Capítulo, trabajamos con medidas vectoriales v: R → X definidas sobre un δ-anillo R y con valores en un espacio de Banach X. En la primera sección, presentamos los principales resultados conocidos sobre integración respecto de este tipo de medidas vectoriales v y sobre el espacio L1(v), comentando las diferencias existentes con el caso de medidas vectoriales definidas sobre σ-álgebras. En particular, L1(v) es un retículo de Banach orden continuo que puede carecer de unidad débil. Incluimos una proposición (Proposición 2.3) que nos da una condición equivalente a que una función sea integrable respecto de v. Esta condición extiende la definición de función integrable dada por Bartle, Dunford y Schwartz para medidas vectoriales definidas sobre σ-álgebras [BDS, Definition 2.5] y no aparece en los trabajos de Lewis [L2] ni de Masani y Niemi [MN2].

    En la segunda sección, estudiamos las propiedades de aditividad fuerte y σ-finitud para una medida vectorial v definida sobre un δ-anillo R. Probamos que la condición de que v sea σ-finita es equivalente a que L1(v) es orden isométrico a L(vg), donde vg es la medida vectorial con densidad g definida por vg(A) = ʃA gdv para todo A perteneciente a la σ-álgebra Rloc de conjuntos que están localmente en R (Teorema 2.9). En el caso de que v sea fuertemente aditiva, g = XΩ es una unidad débil de L1(v) y vg es una extensión de v a la σ-álgebra Rloc, de manera que L1(v) coincide con L1(vg) (Teorema 2.6). Cuando v no es σ-finita, representamos L1(v) como una suma directa incondicional de ideales disjuntos, cada uno de ellos orden isométrico a un espacio L1(vA), donde la medida vectorial vA es la restricción de v a cierta σ-álgebra del tipo A ∩ R con A ϵ R (Teorema 2.10). Otra cuestión que nos planteamos es la posibilidad de que exista una “medida de Rybakov de control local” para v, que dote a L1(v) de estructura de espacio de Banach de funciones.

    El Capítulo 3 (inspirado en [CR1]) se divide en dos secciones. En la primera se considera un operador lineal T : S(R) → X definido sobre las funciones simples con soporte en un δ-anillo R de partes de un conjunto Ω y con valores en un espacio de Banach X. Cuando T cumple condiciones apropiadas, hallamos que el espacio L1(v), siendo v : R → X la medida vectorial definida por v(A) = T (XA), es el dominio óptimo para T dentro de la clase de espacios de Banach de funciones sobre (Ω, R, μ) (Definición 3.1) orden continuos y tales que μ es equivalente a v, es decir, μ tiene los mismos conjuntos nulos que v (Teorema 3.5). Además, en este caso el operador de integración f → ʃ fdv extiende T a L1(v).

    La segunda sección se centra en los operadores con núcleo T definidos como T(f) = ∫_0^∞▒f(y)K(·,y)dy Siendo K una función medible y no negativa sobre [0, ∞) x [0, ∞) tal que la función de conjuntos v asociada a T, está bien definida sobre el δ-anillo Ba de los conjuntos de Borel acotados de [0, ∞). A tal función K la llamaremos núcleo admisible.

    Para un espacio de Banach de funciones X tal que v : Ba → X es medida vectorial, probamos que L1(v) es el dominio óptimo para T (considerado con valores en X) dentro de la clase de los espacios de Banach de funciones orden continuos sobre ([0, ∞), Ba, μ) con μ equivalente a v (Proposición 3.8). Bajo ciertas propiedades de integrabilidad y monotonía exigidas al núcleo admisible K, obtenemos que la función de conjuntos asociada v : Ba → X es una medida vectorial para cualquier espacio invariante por reordenamiento X sobre [0, ∞). En este caso, si además X es orden continuo, damos una descripción precisa de L1(v) (i.e. el dominio óptimo de T) como un espacio de interpolación (L_w^1,L_ε^1)x, donde L_w^1,L_ε^1 son los espacios de funciones integrables respecto de la medida de Lebesgue con densidad (definida a partir del núcleo admisible K) w y ε respectivamente (Teorema 3.15).