Resumen de Tasas de convergencia para sumas aleatorias de Riemann
Este trabajo analiza algunos métodos aleatorios de aproximación del valor de una integral. En el primer capítulo se presentan las fórmulas de cuadratura aleatorias de Einmahl y Van Zuijlen para las que se aportan resultados de convergencia casi segura.
En el segundo capítulo se presenta un estimador formado por sumas aleatorias de Riemann. Se comparan sus características respecto de las del estimador clásico de Montecarlo probando que es un estimador insesgado de menor varianza que el de Montecarlo. Se presenta el resultado de convergencia casi segura de Pruss y se pone de manifiesto la necesidad de considerar esquemas triangulares, formados por filas de variables aleatorias no necesariamente equidistribuidas: el problema de la no equidistribución se aborda mediante el concepto de recubrimiento regular.
Se obtienen tasas de convergencia del tipo de Baum y Katz en el esquema clásico para esquemas triangulares formados por filas que forman un recubrimiento regular de una variable. Estas tasas quedan caracterizadas mediante la existencia de momentos de cierto orden.
Se pondrá de manifiesto la equivalencia para la ley débil, respecto al esquema clásico, y la pérdida de orden en la tasa de convergencia para la ley fuerte debido a la independencia en la sucesión de sumas.
En el tercer capítulo, se presenta un estimador basado en la idea de muestreo de Kieffer y Stanojevic.
Este estimador también está formado por sumas aleatorias de Riemann. Se demuestra que la sucesión de estimadores forma una martingala inversa de los que se deduce la convergencia casi segura. Se caracterizan las tasas de convergencia para la ley débil y fuerte comprobando que se recupera el orden perdido en la tasa de convergencia para la ley fuerte del estimador de Pruss.
