Resumen de Conocimiento conceptual del simbolismo algebraico adquirido por estudiantes de secundaria. Un estudio a través de la invención de problemas
Elena Fernández Millán
El trabajo de investigación que constituye esta tesis doctoral refiere a la evaluación del conocimiento conceptual del concepto de ecuación así como del simbolismo algebraico característico de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Los motivos que nos llevan a la realización de la misma hacen referencia a varios aspectos. Desde el punto de vista curricular se observa que la enseñanza y el aprendizaje del álgebra juega un papel fundamental en la etapa de ecuación secundaria obligaría. Los documentos curriculares tanto estatales como autonómicos reflejan esta importancia. Desde el punto de vista de la investigación en didáctica de la matemática, hay numerosos estudios que demuestran que a pesar del tiempo dedicado a la enseñanza del álgebra en la educación secundaria, los estudiantes ponen de manifiesto numerosas y persistentes dificultades que les hacen incurrir en diversos errores en el trabajo con el simbolismo algebraico así como con ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Por último, desde una perspectiva personal, en mi trabajo como profesora de educación secundaria en la especialidad de matemáticas, he observado las dificultades que ponen de manifiesto los estudiantes en su trabajo con el simbolismo algebraico y con las ecuaciones, en concreto con la manipulación simbólica y con los procesos de traducción del lenguaje verbal al simbólico, lo que me lleva a introducirme en la investigación en didáctica de la matemática y en concreto en el pensamiento algebraico.
El objetivo general de esta tesis es: analizar el conocimiento conceptual implícito relativo al simbolismo algebraico, característico de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, y el conocimiento conceptual implícito y explícito del concepto de ecuación, que adquieren los estudiantes como resultado de su formación matemática a lo largo de la ESO. Acotamos dicho problema por medio de cuatro objetivos específicos que nos planteamos abordar con diferentes grupos de estudiantes de 4º de ESO que ya hayan concluido su formación obligatoria en álgebra: O.1 Identificar y comparar las características de las ecuaciones y sistemas de ecua¬ciones que dificultan a los estudiantes la tarea de inventar un problema, en situaciones tanto libres como semiestructuradas proponiendo un significado para las incógnitas.
O.2 Distinguir y comparar el significado que dan los estudiantes a las operaciones contenidas en las ecuaciones y sistemas, en situaciones tanto libres como semiestructuradas proponiendo un significado para las incógnitas.
O.3 Identificar las dimensiones de variación posibles y los rangos de variación permisibles característicos de los ejemplos de ecuaciones que proponen los estudiantes.
O.4 Caracterizar las definiciones de ecuación dadas por los estudiantes.
Esta tesis la realizamos como compendio de tres artículos: los dos primeros objetivos de investigación son abordados conjuntamente a través del primer y segundo artículos y el segundo y tercer objetivos son abordados en el tercer artículo.
En el marco teórico de las tres publicaciones se abordan los siguientes aspectos relacionados con el trabajo de investigación: distinción entre el conocimiento conceptual implícito y explícito y cómo evaluarlo, centrándonos en los procesos de traducción del simbolismo algebraico al lenguaje verbal (invención de problemas), generación de ejemplos y definiciones de conceptos matemáticos; características del simbolismo algebraico y características de las ecuaciones; definiciones del concepto de ecuación aportadas tanto en la investigación como en los libros de texto. Así mismo se realiza una revisión de estudios previos relacionados con la temática que se clasifican en: estudios que se centran en el conocimiento conceptual del simbolismo algebraico de estudiantes; estudios que se centran en indagar en el conocimiento conceptual del simbolismo algebraico a través del proceso de traducción del sistema de representación simbólico al verbal y, por último, estudios que se utilizan la generación de ejemplos y la definición de conceptos para indagar el conocimiento conceptual tanto implícito como explícito de conceptos matemáticos.
Para abordar los objetivos de investigación utilizamos tres tipos de tareas: invención de problemas, generación de ejemplos y definición de conceptos matemáticos; todas ellas por parte de los estudiantes. Las tres tareas han sido ampliamente reconocidas en la investigación en didáctica de la matemática como válidas para evaluar el conocimiento conceptual que posee un individuo sobre un concepto matemático. La recogida de datos se lleva a cabo a través dos instrumentos: cuestionarios individuales y escritos y entrevistas semiestructuradas individuales grabadas en audio. Cada uno de los instrumentos y tareas aportan un tipo información que nos permite abarcar el objetivo de investigación planteado.
De esta forma identificamos varios aspectos que informan del conocimiento conceptual del simbolismo algebraico y del concepto de ecuación: - Características de ecuaciones y sistemas de ecuaciones que dificultan a los estudiantes la tarea de inventar un problema: presencia de más de una incógnita (sistemas de ecuaciones); incógnita a ambos lados del signo igual; coeficiente diferente de uno; presencia de estructura multiplicativa entre incógnitas.
- Significados que le atribuyen a estructuras aditivas y multiplicativas presentes en ecuaciones y sistemas de ecuaciones en los problemas inventados por los estudiantes: predominio de las estructuras semánticas aditivas de combinación seguidas de las de cambio y de las estructuras semánticas multiplicativas de comparación seguidas de las de proporcionalidad simple.
- Dimensiones de variación posibles en los ejemplos de ecuaciones generados por los estudiantes: grado, número de términos, número de incógnitas, coeficiente, operación de la incógnita, miembro derecho de la ecuación y término independiente y rangos de variación permisibles para cada uno de ellos.
- Palabras clave incluidas en sus definiciones del concepto de ecuación: expresión algebraica (letras, números y operaciones), igualdad, único valor de la letra.
Los resultados obtenidos han permitido abordar el objetivo general planteado en esta investigación. Además la información obtenida en la tesis doctoral es de utilidad para profundizar en el conocimiento conceptual tanto del simbolismo algebraico como del concepto de ecuación de los estudiantes al final de la ESO. Complementamos el conjunto de estudios que abordan las dificultades que ponen de manifiesto los estudiantes, relativos a la comprensión y uso de diferentes componentes del simbolismo algebraico, así como al conjunto de investigaciones que tratan sobre el conocimiento conceptual de las ecuaciones de forma general. Destacamos otros dos aspectos importantes de este trabajo: el primero de ellos es que se demuestra que la invención de problemas y la generación de ejemplos, ambas por parte de los estudiantes, constituyen don herramientas validadas para evaluar el conocimiento conceptual implícito de conceptos matemáticos; el segundo es que la investigación realizada es novedosa en el sentido de que no hemos encontrado otros estudios en el campo de la investigación en didáctica de la matemática que clasifique los significados que los estudiantes dan a las estructuras aditivas y multiplicativas incluidas en ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Por último, señalamos los aportes que esta investigación ofrece a la docencia: necesidad de prestar una mayor atención en la enseñanza a la expresión mediante el sistema de representación verbal de esquemas de relaciones complejos, tales como los que se modelizan con sistemas de ecuaciones, con ecuaciones con coeficientes decimales y diferentes de uno y ecuaciones con incógnitas multiplicándose entre sí; necesidad de promover un estudio más estructural de la resolución de problemas, así como el trabajo en el aula de estructuras semánticas aditivas de comparación e igualación, y la multiplicativa de producto cartesiano; necesidad de trabajar los diferentes significados del signo igual y de incluir en el trabajo diario en el aula una mayor variabilidad de conjuntos numéricos que aparezcan tanto en coeficientes como en términos independientes de ecuaciones y sistemas de ecuaciones; mayor trabajo de la competencia lingüística de los estudiantes.
