Resumen de Resultados teóricos y numéricos de control para EDPs lineales y no lineales
En esta Tesis presentamos resultados teóricos y numéricos de control para EDPs lineales y no lineales.
Primeramente, en el Capítulo 2, analizamos el control nulo local del modelo de Burgers-$\alpha$. El estado es una solución de una ecuación de Burgers regularizada, donde el término de transporte es de la forma $zy_x$,~$z=(Id-\alpha^2\frac{\partial^2}{\partial x^2})^{-1}y$ y $\alpha>0$ es un parámetro pequeño. También probamos algunos resultados sobre el comportamiento de los controles nulos y estados asociados cuando $\alpha\to 0^+$.
En segundo lugar, en el Capítulo 3, nos preocupamos por el control distribuido y frontera del llamado modelo de Leray-$\alpha$. Probamos que las ecuaciones de Leray-$\alpha$ son controlables a cero localmente, con controles acotados independientemente de $\alpha$. También probamos que, si los datos iniciales son suficientemente pequeños, los controles convergen cuando $\alpha \to 0^+$ a un control nulo de las ecuaciones de Navier-Stokes.
Después, en el Capítulo 4, estudiamos el control frontera de fluidos incompresibles no viscosos para los que los efectos térmicos son importantes. Establecemos simultáneamente la controlabilidad exacta global del campo de velocidades y de la temperatura para flujos 2D y 3D. Cuando el coeficiente de difusión de calor es positivo, presentamos algunos resultados adicionales sobre la controlabilidad exacta para el campo de velocidades y control nulo local de la temperatura.
En el Capítulo 5, nos preocupamos por el cálculo numérico de los controles nulos para la ecuación del calor lineal. La idea principal es minimizar sobre la clase de controles nulos admisibles un funcional promediado que involucra sólo el control. Las condiciones de optimalidad del problema se reformulan como una ecuación variacional mixta que hacen aparecer tanto al estado como a su adjunto. Probamos el buen planteamiento de la formulación mixta y luego discutimos varios experimentos numéricos.
Finalmente, el Capítulo 6 tiene como objetivo presentar algunas estrategias para resolver numéricamente el problema de control nulo para las ecuaciones bidimensionales del calor y Stokes y el problema de control local exacto a trayectorias para las ecuaciones de Navier-Stokes. La idea principal es minimizar sobre la clase de controles nulos admisibles un funcional que contiene integrales promediadas del estado y del control. Las condiciones de optimalidad asociadas pueden ser vistas como un sistema diferencial en las variables $(\xvec,t)$ que es de segundo orden en tiempo y cuarto orden en espacio, completado con condiciones de frontera adecuadas. Presentamos varias formulaciones mixtas del sistema y, a continuación, aproximaciones basadas en elementos finitos Lagrangianos apropiados en espacios de funciones $C^0$.
