Resumen de Un método espectral basado en funciones de hermite para la resolución numérica de algunas ecuaciones del calor semilineales

Martín Blas Pérez Pinilla

• EL OBJETIVO DE LA TESIS ES EL DESARROLLO DE UN METODO ESPECTRAL BASADO EN LAS FUNCIONES DE HERMITE HN(X)=HN(X)E-X2 (DONDE HN(X) ES EL N-ESIMO POLINOMIO DE HERMITE) PARA ECUACIONES DE DIFUSION CON CONVECCION O REACCION NO LINEAL DE LA FORMA UT-UXX= (UQ)X, UQ O +-(UX)Q CON Q MAYOR QUE 1 EN TODA LA RECTA REAL, LAS DIFICULTADES DEBIDAS AL HECHO DE TRABAJAR EN UN DOMINIO NO ACOTADO SE SOLVENTAN MEDIANTE LAS SIGUIENTES TECNICAS:

  1. EL USO DE LAS FUNCIONES DE HERMITE, CUYO COMPORTAMIENTO EN EL INFINITO CORRESPONDE AL DE LAS SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES PARA DATOS INICIALES EN UN ESPACIO FUNCIONAL ADECUADO.

  2. UN CAMBIO DE VARIABLE (EL CAMBIO AUTOSEMEJANTE) QUE INTRODUCE UN NUEVO OPERADOR DIFERENCIAL L DE INVERSO COMPACTO Y CUYAS FUNCIONES PROPIAS SON PRECISAMENTE LAS FUNCIONES DE HERMITE.

  LOS METODOS ESPECTRAL Y SEUDOESPECTRAL CONSISTEN EN BUSCAR UNA SOLUCION APROXIMADA COMO UNA SUMA FINITA, OBTENIENDOSE UN SISTEMA DE N+1 ECUACIONES DIFERENCIALES PARA CIONES DIFERENCIALES PARA LAS FUNCIONES. LA DIFERENCIA ENTRE AMBOS ESTA EN LA FORMA EN QUE SE CALCULAN LOS COEFICIENTES A PARTIR DE LOS VALORES DE LA FUNCION.

  PARA CADA UNA DE LAS ECUACIONES MENCIONADAS (ENTRE LAS QUE SE INCLUYE LA ECUACION DE BURGERS) SE ESTABLECE LA EXISTENCIA Y UNICIDAD Y REGULARIDAD DE LA SOLUCION EN LAS VARIABLES AUTOSEMEJANTES.

  POSTERIORMENTE SE DEMUESTRA LA CONVERGENCIA DE LOS METODOS ESPECTRAL Y SEUDOESPECTRAL Y SE REALIZAN EXPERIMENTOS NUMERICOS QUE CONFIRMAN LOS RESULTADOS TEORICOS.