Resumen de Leibniz cohomology in low degrees: some structure theory of Leibniz n-algebras

Rustam Turdibaev

• español

  En esta tesis se presentan algunas herramientas para estudiar grupos de cohomología de álgebras de Leibniz con valores en sí mismo. Usando la descomposición de Levi para álgebras de Leibniz semisimples establecemos una descomposición más precisa de sus grupos de cohomología. Una mirada cercana a las cohomologías en grados bajos da resultados sobre derivaciones exteriores de álgebras Leibniz semisimples. Además, se establece un análogo de la descomposición de Jordan-Chevalley para álgebras de Leibniz. Moviéndonos a un objeto más general, se introducen varias nociones de solubilidad y nilpotencia de n-álgebras de Leibniz y se establece su invariancia por derivaciones. Se estudian los subálgebras de Frattini y Cartan de n-álgebras de Leibniz. Algunos resultados clásicos sobre estas subálgebras se extienden a n-álgebras de Leibniz, mientras que otros no. En particular, se muestran ejemplos de que un enunciado sobre conjugación de subálgebras de Cartan de álgebras de Lie, que también se verifica en álgebras de Leibniz y n-álgebras de Lie, no se verifica para $n$-álgebras de Leibniz.

• English

  In this thesis some tools to study cohomology groups of Leibniz algebras with values in itself are presented. Using Levi decomposition for semisimple Leibniz algebras we establish more precise decomposition of their cohomology groups. Close look to cohomologies in low degrees yields results on outer derivations of semisimple Leibniz algebra. Furthermore, an analogue of Jordan-Chevalley decomposition for Leibniz algebras is established. Moving to a more general object, Leibniz n-algebra a several notions of solvability and nilpotence are introduced and their invariance under derivations is established. The Frattini and Cartan subalgebras of Leibniz n-algebras are studied. Some classical results on these subalgebras are extended to Leibniz n-algebras, while some do not. In particular, examples showing that a statement on conjugacy of Cartan subalgebras of Lie algebras, which also holds in Leibniz and n-Lie algebras, does not hold for Leibniz n-algebras are constructed.