Resumen de Dos problemas relacionados con ecuaciones diferenciales parciales de evolución no lineales: : A: Sobre la controlabilidad aproximada de las ecuaciones de Navier-Stokes con control frontera. B: Una nueva demostración de la existencia de solución de Leyes de conservación escalares en varias variables especiales.
En esta Memoria, estudiamos cuestiones relacionadas con dos problemas en derivadas parciales de evolución no lineales. En primer lugar, presentaremos resultados relacionados con la controlabilidad aproximada de las ecuaciones incompresibles de Stokes y Navier-Stokes, cuando el control se ... ejerce sobre un trozo de la frontera. En segundo lugar, presentamos Demostraciones constructivas de la existencia de solución débil de leyes de conservación escalares en una y varias variables espaciales. La Memoria queda dividida en dos Partes independientes, correspondiendo cada una de ellas a cada uno de los problemas considerados.La primera parte consta de tres Capítulos. Haremos a continuación una breve descripción de cada uno de ellos.Comenzamos el Capítulo 1 con una Sección donde se recuerdan las definiciones y ciertas propiedades de algunos espacios de funciones que no son �standard�. Destacamos entre ellos tres nuevos espacios relacionados con el operador divergencia, V, H y V, que juegan un papel fundamental en lo que sigue. Seguidamente, pasamos a estudiar el problema incompresible de Navier-Stokes con condiciones de contorno no homogéneas. En particular, hallamos condiciones sobre el dato de contorno que aseguran la existencia de solución débil. Dedicamos la tercera Sección del Capítulo a la existencia, unicidad y regularidad de la solución (0.1). Para analizar la regularidad de L2, se siguen estrategias análogas a las desarrolladas en [4] para el problema de Stokes con condiciones de Dirichlet. Terminamos este Capítulo con un estudio del espectro del operador de Stokes asociado a condiciones de contorno de distinto tipo sobre distintas partes de la frontera.Dedicamos el Capítulo 2 a la principal cuestión planteada en esta parte de la Memoria: Controlabilidad aproximada del sistema de Navier-Stokes con control frontera. Como se ha dicho, los resultados principales afirman que el subespacio generado por los estados finales es denso en ?. La demostración se base en un resultado de existencia de solución débil para un cierto problema acoplado no lineal. Finalizamos este Capítulo con el análisis de algunas cuestiones relacionadas con este problema.En el Capítulo 3, probamos que el sistema de Stokes es aproximadamente controlable en ? utilizando control frontera. En la segunda Sección, analizamos las dificultades que surgen, al aplicar el mismo razonamiento que en el caso lineal, para probar la controlabilidad débil del sistema de Navier-Stokes. Terminamos el Capítulo probando un resultado parcial de controlabilidad del sistema de Navier-Stokes cuando el control se ejerce sobre la condición inicial.La segunda parte de la Memoria está integrada por dos Capítulos (Capítulos 4 y 5). Dedicamos el Capítulo 4 al estudio del caso particular en que N=1 y f es estrictamente convexa. En el Capítulo 5, tratamos el caso general en que N=2.Comenzamos el Capítulo 4 definiendo el esquema que utilizamos para construir las soluciones aproximadas. Para ello, introducimos dos parámetros positivos (h y ?), a los que posteriormente se exigen propiedades adecuadas. En la segunda Sección del Capítulo, probamos ciertas estimaciones �a priori� de las soluciones aproximadas. En concreto, obtenemos estimaciones en norma L8, estimaciones sobre la variación total de la solución aproximada y estimaciones en norma L1 de la derivada respecto de t. También en esta Sección, probamos que las soluciones aproximadas verifican la condición E mencionada anteriormente. Para obtener estas estimaciones, debemos imponer ciertas condiciones a los parámetros h y ?. Terminamos el Capítulo probando que las soluciones aproximadas convergen, en un cierto sentido, hacia una solución débil de (0.2)-(0.3) (Lemas 4.10 y 4.13).
A diferencia de lo que se hace en el Capítulo 4, en el Capítulo 5 no imponemos ninguna hipótesis de la convexidad sobre las fi. La estructura de este Capítulo es análoga a la de anterior. En la primera Sección, presentamos el esquema que se utiliza para construir las soluciones aproximadas. En la segunda Sección, obtenemos estimaciones �a priori�; en la tercera, utilizamos éstas para probar que las soluciones aproximadas convergen hacia una solución débil de (0.2)-(0.3). De nuevo, lo que se acota uniformemente es la norma L8, la variación total y la norma L1 de la variedad de la solución aproximada. En este caso, también es necesario imponer ciertas condiciones a los parámetros h y ?.
