Resumen de Teoría del grado multivaluado
El primero de los capítulos recoge únicamente los resultados que hemos tenido que utilizar para el desarrollo del trabajo que se presentas, estos resultados han sido extraídos fundamentalmente del libro de K. Deimling (6). (...). En el segundo capítulo se construye una axiomática para el grado multivaluado en la que el hecho de tomar este valores sobre conjuntos nos ha obligado a introducir determinados cambios en los axiomas cuidando que estos no afectaran en la deducción de las propiedades más importantes. La modificación fundamental se introduce en el axioma (d2) en el que se ha tenido que cambiar la igualdad por una contención en determinados casos; lo cual permite aún obtener teoremas de existencia para la ecuación f (x)=p o análogamente la obtención de puntos fijos. Dadas las distintas formas de extensión del grado, recogidas en la literatura del tema, en la segunda parte del capítulo construimos un método general de extensión, que permite, definido el grado sobre una clase de funciones, extenderlo automáticamente a una clase más amplia formada por límites puntuales de la anterior clase.El tercer capítulo recoge los resultados que consideramos fundamentales de la memoria. En primer lugar definimos el grado para un tipo de funciones a las que se les impone una condición de convergencia más débil que las impuestas por W. Petrysyn a las aplicaciones A-propias. El debilitamiento de las hipótesis dificulta notablemente la comprobación de que son verificados los axiomas, principalmente el axioma de homotopía; esto nos permite definir el grado, entre otras, para las aplicaciones compactas, l-bola-constructivas y para aplicaciones con propiedades de invarianza sobre los subespacios de dimensión finita. A continuación se estudian propiedades de esta clase de funciones y del grado que en ellas se ha definido, en particular demostramos que contienen de forma estricta al conjunto de funciones definido por Werinski (25); también se demuestra que en el caso de las perturbaciones compactas de la identidad el grado definido coincide con el de Leray-Schauder. Si ya es difícil probar el teorema de la fórmula del producto para el grado de aplicaciones A-propias (ver 23) no es de extrañar que la dificultad se acreciente sensiblemente para nuestras aplicaciones, más generales. Al final del capítulo probamos este teorema imponiendo condiciones del mismo tipo de las exigidas por Ship-fah Wong.El último capítulo está dedicado a resolver un problema de existencia de soluciones periódicas de ecuaciones diferenciales. Utilizando la definición de grado anterior conseguimos probar para dicho problema la existencia de solución. Es de desatacar que para resolver este problema los operadores utilizados son los específicamente definidos por nosotros en el Capítulo III y no se encuentran entre los A-propios.
