Resumen de Clasificación topológica de una familia de campos vectoriales lineales a trozos simétricos en el plano

Antonio Esteban Teruel Aguilar

• Desde que a finales del siglo XIX el matemático frances H, Poincaré asentó y desarrolló las bases de la Teoria cualitativa de las ecuaciones diferenciales, esta teoría se ha convertido en la herramienta más fecunda en el estudio y comprensión de las ecuaciones diferenciales.

  Sin embargo, fuera del caso lineal, la Teoría cualitativa no está lo suficientemente desarrollada como para dar respuesta a preguntas tales como el número y localización de los ciclos limite, aun cuando nos restringimos a campos polinomiales en el plano. Este problema se conoce como el problema 16 de Hilbert y permanece abierto un siglo despues de su formulación. Cuestiones referentes a las bifurcaciones globales tambien nos son desconocidas.

  Partiendo del caso lineal, un primer paso natural hacia la comprensión de la dinámica no lineal pasa por el estudio de los campos vectoriales lineales a trozos. Estos sistemas tienen a su vez gran interes en el campo de las aplicaciones. Así, aparecen de forma natural en Teoría de control no lineal, en el diseño de circuitos eléctricos,etc....

  En esta memoria, y aplicando las técnicas propias de la Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, se describen y clasifican todos los retratos de fases globales y el conjunto de sus bifurcaciones para la familia de los campos vectoriales lineales con tres trozos simétricos en el plano.

  La memoria está organizada en cuatro capítulos. En el Capítulo 1 introducimos aquellos conceptos básicos de la Teoría cualitativa que serán utilizados en el resto del trabajo. En el Capítulo 2 presentamos las ecuaciones diferenciales que son motivo de nuestro estudio, que hemos convenido en denominarles sistemas fundamentales. En éste capitulo aparecen además las propiedades más elementales de los sistemas fundamentales. En el Capítulo 3 estudiamos de forma sistemática las aplicaciones de Poincaré definidas por el flujo de los sistemas fundamentales.