Resumen de Valores para juegos sobre estructuras combinatorias
Esta Memoria consta de cinco capítulos.
En el Capítulo primero, se modela la cooperación parcial definiendo la función característica del juego sólo sobre las coaliciones factibles. Una familia de coaliciones factibles o sistema de coaliciones no tendrá, en este caso, ninguna restricción salvo la propiedad técnica de contener al vacío. Cualquier sistema de coaliciones se puede considerar como un conjunto parcialmente ordenado y, de ahí, que la primera sección del capítulo se dedique a recordar aquellas nociones de interés sobre los conjuntos parcialmente ordenados. En la segunda sección, tras introducir formalmente el concepto de juego de utilidad transferible sobre un sistema de coaliciones, se estudio la estructura de espacio vectorial del conjunto de estos juegos y, en particular, se analiza la clase de juegos simples. Se consideran, en las dos últimas secciones, tres tipos concretos de sistemas de coaliciones. Aquéllos que tienen estructura de geometría convexa o de antimatroide son introducidos en la sección tercera. En ella se exponen las propiedades fundamentales de estos sistemas de coaliciones, comentadas en términos de juegos, y se observa la estrecha relación entre ellos. Otra visión diferente de cómo puede venir determinada la cooperación entre los jugadores, la ofrece la estructura de matroide, cuyos conceptos más relevantes se tratan en la última sección del capítulo.
El Capítulo segundo, titulado Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides está dedicado al estudio de los valores Shapley, Banzhaf y Tijs en dichos sistemas de coaliciones. En el desarrollo de este capítulo se utiliza como herramienta fundamental, el isomorfismo existente entre los conjuntos de juegos sobre geometrías y antimatroides, que se considera en la sección primera. La posibilidad de asociar a cada juego definido sobre una geometría convexa otro definido sobre su antimatroide dual, permite relacionar los diferentes valores en ambas estructuras. En la segunda sección, teniendo como referencia la caracterización axiomática del valor de Shapley dada por Bilbao [8] para geometrías convexas, se introduce el correspondiente valor en antimatroides. La sección tercera se dedica a definir el índice de Banzhaf en ambas estructuras, observando, nuevamente, la importancia del operador dual. Por último, en la cuarta sección se comienza extendiendo el valor de Tijs a la estructura de antimatroide, considerando antimatroides coatómicos. Este tipo de antimatroides ofrecen la posibilidad de trasladar de forma automática la construcción original de dicho valor, y en ellos se consigue una de las habituales caracterizaciones sobre la clase de juegos casiequilibrados. Por otro lado, la dualidad ente los antimatroides coatómicos y geometrías convexas atómicas, da pie a proponer un valor de Tijs para este último tipo de estructura.
Comienza en el Capítulo tercero la parte dedicada a juegos sobre matroides. Este capítulo establece, en la primera sección, un modelo según el cual se pueden desarrollar juegos definidos sobre un sistema donde no es factible la gran coalición y además, a diferencia de las estructuras de coalición, las coaliciones maximales no son disjuntas. Se contempla que en el discurrir de un juego se dan dos posibilidades: o bien los jugadores se unen determinando una única coalición factible maximal o bien se van organizando en coaliciones factibles que ocasionan una partición del conjunto de jugadores. En la segunda y última sección se introduce el concepto de influencia. La noción de influencia de una coalición pretende reflejar la capacidad que tiene cada coalición de influir en la dinámica del juego. Se comprueba que su definición avala esta idea cuando se estudia su relación con el core de un juego vinculado a la estructura y generado por un elemento clásico del matroide, su función rango.
En el Capítulo cuarto, siguiendo el trabajo de Weber [59], se profundiza sobre los axiomas exigibles a un valor para juegos sobre matroides pensados bajo el modelo del capítulo anterior. La primera sección examina los axiomas desde el punto de vista individual, investigando su aportación a la formulación del valor. Este estudio individual puede servir para los dos tipos de juegos que se tratan, tanto para juegos estáticos como dinámicos, y desemboca en una familia de valores denominados valores ?-ponderados. Cuando se exigen axiomas de grupo hay que tener en cuenta la diferencia entre ambos tipos de juegos. En la segunda sección se estudian la denominada propiedad del rango y los conceptos de valor eficiente, básico y de orden aleatorio como axiomas de grupo válidos para un juego estático. Se determina, para finalizar la sección, que características tienen aquellos valores que satisfacen todas las propiedades enunciadas anteriormente, definiendo una familia de valores de grupo. La última sección del capítulo hace lo propio con un juego dinámico, exigiendo la propiedad de ponderación unitaria y los conceptos de valor eficiente, básico y de orden aleatorio en el sentido dinámico. También se construye valores de grupo que verifican estas condiciones. En el transcurso del estudio de los valores dinámicos surgen determinados valores cuya aplicación es sobre juegos estocásticos, a pesar de verificar la propiedad de ponderación unitaria. Estos últimos valores se denominarán valores relativos.
El Capítulo quinto se dedica al valor de Shapley para juegos sobre matroides. Se tiene como referencia el concepto de poder jerárquico introducido por Faigle y Kern [22], que utilizan para determinar el valor de Shapley en las estructuras de precedencia. En la primera sección se definen valores de Shapley desde el punto de vista estático y se obtiene una caracterización de éstos. Se destaca el caso particular donde todas las coaliciones maximales son equiprobables. Por último, los valores dinámicos se Shpaley son examinados en la segunda sección de forma paralela a lao realizado con los estáticos.
