Resumen de Álgebras de Zinbiel graduadas naturalmente
Samuel Gómez Vidal
Las álgebras no asociativas tienen muchas aplicaciones prácticas en el campo de la mecánica cuántica, teoría de grafos y economía financiera entre otras. Para poder aplicarlas es necesario analizarlas.
Así, uno de los objetos importantes en la teoría moderna de las álgebras no asociativas son las álgebras de Lie. Numerosas investigaciones en la teoría de las álgebras de Lie han dado lugar a algunas generalizaciones de ellas tales como las álgebras de Mal'cev, las superálgebras de Lie, etc. A comienzo de los años 90, Loday introduce una generalización de las álgebras de Lie, las álgebras de Leibniz, [7].
Las álgebras de Leibniz se entienden como la "no conmutatividad" de las álgebras de Lie. Un álgebra no asociativa da lugar a un álgebra de Lie mediante el producto [x,y]=xy-yx. J.-L. Loday [8] definió unas álgebras que dan lugar a un álgebra de Leibniz, por el mismo procedimiento que para el caso Lie, a éstas álgebras las llamó diálgebras asociativas o simplemente diálgebras.
Loday, en su estudio, introduce otro tipo de álgebras las álgebras dendriformes. Los resultados que entrelazan las diálgebras y las álgebras dendriformes se expresan mejor en el marco de operads algebraicos. La noción de dialgebra define un operads algebraico Dias binario y cuadrático. Por la teoría de Ginzburg y Kapranov [6], existe un "operad dual" bien definido Dias!. Loday demostró que este operad es precisamente el operad Dend de las álgebras dendriformes. En otras palabras, el dual de una diálgebra es un álgebra dendriforme. De hecho, estos dos operads son un tipo especial de operads: operads de Koszul.
Un álgebra sobre un operad es un álgebra con un cierto tipo de estructura, así los operads Com, Lie y As dan lugar a las álgebras conmutativa, Lie y asociativa, respectivamente.
La categoría de álgebras sobre estos operads se ensamblan en un diagrama conmutativo de funtores o functors que refleja la dualidad de Koszul.
Para ilustrar esto, Loday define una clase de álgebras las álgebras de Zinbiel las cuales son el dual de la categoría de álgebras de Leibniz.
Un álgebra de Zinbiel Z es un álgebra con una operación "o" satisfaciendo: (a o b) o c=a o (b o c)+a o (c o b) Esta álgebra define un operad binario y cuadrático: un operads de Koszul. Estas álgebras están relacionadas con las álgebras de Leibniz en el sentido dual de Koszul, de ahí que el nombre Zinbiel sea Leibniz escrito al revés.
Loday plasma estas relaciones en un diagrama conocido como diagrama de Loday [8], [9].
Recientemente, se han estudiado propiedades interesantes de las álgebras de Zinbiel [1], [4], [5]. En particular, destacamos que toda álgebra de Zinbiel compleja de dimensión finita es nilpotente. Además, si el álgebra de Zinbiel es de dimensión infinita este resultado no es cierto [5].
A lo largo de esta memoria, nos centramos en las álgebras de Zinbiel complejas de dimensión finita. En este campo, existen clasificaciones completas como por ejemplo las dadas en [1], [2], [3] y [4]. Estos autores clasifican todas las álgebras de Zinbiel de dimensión menor o igual que 4, las álgebras de Zinbiel nulfiliformes y filiformes, las álgebras de Zinbiel graduadas naturalmente casifiliformes y las álgebras de Zinbiel graduadas naturalmente de nilíndice n-3 con sucesión característica (n-3,1,1,1) o (n-3,3).
En este trabajo se presenta la clasificación de las álgebras de Zinbiel graduadas naturalmente de nilíndice n-3 y sucesión característica (n-3,2,1) cerrando así la clasificación de las de nilíndice n-3. Además, en el último capítulo de la memoria presentamos la clasificación de las álgebras de Zinbiel graduadas naturalmente p-filiformes (o lo que es lo mismo, las que tienen sucesión característica (n-p,1,...,1).
Bibliografía [1] Adashev J.Q., Description of n-dimensional Zinbiel algebras of nilindex k with n-2 ¿ k¿n+1, PhD thesis, Institute of Mathematics and Information Technologies, Uzbekistan Academy of Sciencies, Taskhent, 2011. 95pp.
[2] Adashev J.Q., Omirov B.A., Khudoyberdiyev A.Kh., Classification of some classes of Zinbiel algebras, J. Gen. Lie Theory Appl., vol. 4, 2010, 10pp.
[3] Adashev J.Q., Omirov B.A., Khudoyberdiyev A.Kh., Classification of complex naturally graded quasi-filfirom Zinbiel algebras, Contemp. Math., vol. 483, 2009, pp. 1--11.
[4] Dzhumadil'daev A.S., Tulenbaev K.M., Nilpotency of Zinbiel algebras, J. Dyn. Control. Systt. vol. 11 (2), 2005, pp. 195--213.
[5] Dzhumadil'daev A. S., Identities for multiplications derived by Leibniz and Zinbiel multiplications. Abstracts of short communications of International Conference Operator algebras and quantum theory of probability. Tashkent, 2005, pp. 76-77.
[6] Ginzburg V., Kapranov M., Koszul duality for operads, Duke Math. J., vol. 76 (1), 1994, pp. 203--272.
[7] Loday J.L., Une version non commutative desalgèbres de Lie: les algèbres de Leibniz, Ens. Math., vol. 39, 1993, pp. 269--293.
[8] Loday, J.-L., Frabetti, A., Chapoton, F., Goichot, F., Dialgebras and Related Operads, Lecture Notes in Math., 296, 1993, pp. 139-158.
[9] Loday J.L., Completing the Operadic Butterfly, Georgian Math. Journal, vol. 13 (4), 2010, pp. 741-749.
