Resumen de Ultradistribuciones casi-periódicas y operadores de convolución elípticos

María del Carmen Gómez-Collado

• En esta memoria se introducen y estudian las ultradistribuciones acotadas y casi-periodicas en el sentido de Braun, Meise y Taylor y se caracterizan las operadores de convolución elípticos, El trabajo consta de tres capitulos cuyo contenido comentamos a continuación.

  En el primer capítulo se demuestra que ultradistribución T E D¿*(IR N) es una ultradistribución acotada(resp. Casi-periodica) si y sólo se cumple alguna de las siguientes condiciones que son equivalente entre sí, (1)T* es una función continua y acotada(resp.casi-periódica) para cada E D*(IR N), (2) existen funciones continuas y acotadas(resp.casi-periodicas)f y g y un operador ultradiferencial,G(D), que se puede elegir elíptico, tales que T=G(D) f+g.

  Estos resultados generalizan los obtenidos en 1992 por Cioranecu para ultradistribuciones de tipo Beurling en la recta. La principal diferencia con respecto al trabajo de Cioranescu es que se tratan los casos Beurling y Roumieu y se elimina la exigencia de no casi-analiticidad fuerte sobre la función peso.

  En el segundo capítulo se demuestra que toda ultradistribución acotada en la recta se puede representar como valor en la frontera de una función holomorfa en C/R que satisface ciertas condiciones de crecimiento. Por ejemplo,centrándonos en el caso Beurling, sea Se demuestra que si w(t) es una función concava para t suficientemente grande T:H(w*)----->D¿L1,(w)(R) F---->lim F(.+iE)-F(.-iE) E-->0+ es un operador lineal, continuo, bien definido y sobreyectivo.

  El importante papel desempeñado por los operadores elípticos en la caracterización de las ultradistribuciones acotadas y las casi-periódicas motiva un estudio detallado de los mismos. En tercer capítulo, sumponemos que la función peso w es un peso fuerte y demostramos que todo operador de convolución elíptico es la composición de un operador ultradiferencial invertible con una traslación. De este modo