Resumen de Invertible Sobolev functions: counterexamples and applications to nonlinear elasticity
Marcos de la Oliva Wilkinson
Esta tesis trata de funciones Sobolev invertibles.
En los Cap\'{i}tulos 1 y 2 estudiamos homeomorfismos Sobolev con mal comportamiento, mientras que en el Cap\'itulo 3 estudiamos funciones Sobolev invertibles con buen comportamiento.
Para ser m\'{a}s precisos, en los Cap\'{i}tulos 1 y 2 construimos homeomorfismos Sobolev $u:\Omega\to\R^{n}$ para los cuales $\det Du=0$ y, adem\'{a}s, los menores de $Du$ a partir de cierto orden son cero. Aqu\'{i} $\Omega$ es un conjunto abierto de $\R^{n}$.
En la ra\'{i}z de este comportamiento patol\'{o}gico est\'{a} la no satisfacci\'{o}n de la condici\'on de Luzin; diremos que $u:\Omega\to\R^{n}$ satisface la condici\'{o}n de Luzin $N$ si para todo $S\subset \Omega$ tal que $\La^{n}(S)=0$ se satisface $\La^{n}(u(S))=0$. Diremos que $u$ satisface la condici\'{o}n de Luzin $N^{-1}$ cuando $\La^{n}(u(S))=0$ implica $\La^{n}(S)=0$.
Las funciones Sobolev $u$ del Cap\'itulo 2 que satisfacen $\det Du=0$ c.t.p. pueden ser construidas, adem\'as, para que sean homeomorfismos.
Todas las construcciones de funciones de este tipo hasta la fecha se basaban en una cuidadosa construcci\'on expl\'icita y en un proceso al l\'imite para obtener un conjunto de Cantor donde la parte singular de la medida $\Det Du$ (o la parte singular de los menores distribucionales de orden m\'as peque\~{n}o) estuviera soportada.
En esta tesis, usamos laminados y el m\'etodo de integraci\'on convexa para obtener un homeomorfismo Sobolev cuya derivada tiene rango bajo y un homeomorfismo bi-Sobolev con su derivada y la derivada de la inversa de rango bajo con la integrabilidad \'optima en la escala de los espacios de Sobolev.
La t\'ecnica de integraci\'on convexa empieza con el teorema de Nash-Kuiper.
La condici\'on $\det Du=0$ c.t.p. puede verse como una inclusi\'on en derivadas parciales, a saber $Du\in \R^{n\times n}\setminus GL(n)$ donde $GL(n)$ es el conjunto de matrices $n\times n$ invertibles. El estudio de inclusiones de la forma \begin{equation}\label{intres:difinc} Du\in K\text{ c.t.p.} \end{equation} con $K\subset \R^{n} $ o $\R^{n\times n}$ un conjunto dado es crucial en areas de la f\'isica y la ingenier\'ia para entender problemas como la minimizaci\'on de una energ\'ia no convexa o la microestructura cristalina.
La integraci\'on convexa ha sido usada por muchos autores, siempre para funciones Lipschitz, i.e., para $K$ acotado.
Fue Faraco quien, inspirado por una sugerencia de Milton, invent\'o los laminados escalera y us\'o los m\'etodos de integraci\'on convexa en conjuntos no acotados.
En la Secci\'on 2.2 del Cap\'itulo 2 usa\-mos estos laminados para construir el homeomorfismo Sobolev con derivada de rango bajo mencionado arriba.
En la Secci\'on 2.3 del Cap\'itulo 2 el autor es capaz de construir una sucesi\'on de laminados escaleras cuyo soporte converge a matrices de rango bajo, y el soporte de la inversa tambi\'en converge a matrices de rango bajo.
Hasta donde nosotros sabemos, esta es la primera vez que alguien trabaja con una sucesi\'on de laminados y de sus inversas al mismo tiempo.
En el Cap\'itulo 3 vemos un resultado de relajaci\'on en elasticidad no lineal en $\A_p$ definida como el conjunto de todas las funciones $u\in W^{1,p}(\Omega,\R^{n})$ ($p>n-1$) tales que $\det Du>0$ y que no crean nueva superficie (como cavidades).
La palabra \emph{relajaci\'on} tiene un significado preciso en el C\'alculo de Variaciones; se refiere a la envoltura semicontinua inferior, i.e., el mayor funcional semicontinuo inferiormente (en la topolog\'ia adecuada) por debajo de uno dado.
Es un resultado cl\'asico de Young que la relajaci\'on de \[\int_{\Omega}W(u)dx\quad\text{es}\quad\int_{\Omega}W^{c}(u)dx\] donde $W^{c}$ es la \emph{convexificaci\'on} de $W$, i.e., la mayor funci\'on convexa por debajo de $W$.
Es tambi\'en bien conocido que la relajaci\'on de un funcional del tipo $\int_{\Omega}W(Du)dx$ es $\int_{\Omega}W^{qc}(Du)dx$, donde $W^{qc}$, la \emph{cuasiconvexificaci\'on} de $W$, es la mayor funci\'on cuaxiconvexa por debajo de $W$.
Sin embargo, ni este \'ultimo resultado ni sus numerosas generalizaciones cumplen las condiciones de crecimiento en elasticidad no lineal, en las cuales a la funci\'on de energ\'ia almacenada $W:\R^{n\times n}\to\R\cup\{\infty\}$ se le requiere satisfacer \begin{equation}\label{intres relax assump} W(F)=\infty\text{ si }\det F\le 0\quad\text{y}\quad W(F)\to\infty\text{ cuando }\det F\to 0, \end{equation} para evitar que se revierta la orientaci\'on.
En el Cap\'itulo 3 tratamos con energ\'ias de la forma \begin{equation}\label{intres:energyelast} \int_{\Omega}W(Du,\vn(u))dx+\int_{u(\Omega)}|D\vn (y)|^{2}dy.
\end{equation} Este tipo de energ\'ias han sido usadas para modelar elast\'omeros nem\'aticos pero pueden ser de utilidad en otros contextos.
El primer t\'ermino de la energ\'ia \eqref{intres:energyelast} es la energ\'ia mec\'anica, que une la energ\'ia el\'astica de la deformaci\'on con el campo director.
El segundo t\'ermino penaliza la no uniformidad espacial de los vectores directores.
Ambas forman la energ\'ia del par deformaci\'on-orientaci\'on $(u,\vn)$.
Barchiessi, Henao y Mora-Corral probaron la existencia de minimizadores de \eqref{intres:energyelast} bajo la suposici\'on de que $W$ es policonvexo es su primera variable. En el Cap\'itulo 3 vemos que si $W$ no es ni siquiera cuasiconvexo, la relajaci\'on de \eqref{intres:energyelast} en la clase $\A_p$ es \[\int_{\Omega}W^{qc}(Du,\vn(u))dx+\int_{u(\Omega)}|D\vn (y)|^{2}dy,\] donde $W^{qc}$ es la cuasiconvexificaci\'on de $W$ con respecto a la primera.
La principal hip\'otesis es que $W^{qc}$ es policonvexo.
