Resumen de Superficies de Riemann Bass, función de green y extensión holomorfa
SE PRUEBA QUE SI DOS SUPERFICIES DE RIEMANN SON DEFORMACION UNA DE OTRA, ENTONCES LA PROPIEDAD DE TENER EL MENOR AUTOVALOR DEL LAPLACIANO POSITIVO ES COMUN A LAS DOS, PARA LLEGAR A ESTE RESULTADO SE PRUEBA PRIMERO UN RECIPROCO DE LA ESTIMACION ESTANDARD DE CHEEGER DEL MAS PEQUEÑO AUTOVALOR EN TERMINOS DE DESIGUALDADES ISOPERIMETRICAS. TAMBIEN SE DA UNA CASI CARACTERIZACION DE AQUELLOS DOMINIOS PLANOS PARA LOS QUE LA DESIGUALDAD ISOPERIMETRICA LINEAL ES VALIDA.
EN EL CAPITULO II SE ESTUDIA LA EXISTENCIA DE FUNCION DE GREEN. VAROPOULOS HABIA PROPUESTO LA SIGUIENTE CONJETURA:
SI EL AREA DE LA BOLA CENTRADA EN UN PUNTO P Y DE RADIO R CRECE EXPONENCIALMENTE CON R Y DE MANERA UNIFORME EN P, ENTONCES LA SUPERFICIE TIENE FUNCION DE GREEN. SE PRUEBA QUE LA CONJETURA ES CORRECTA CUANDO LA SUPERFICIE TIENE GENERO FINITO, PERO QUE SIN EMBARGO ES FALSA CUANDO EL GENERO DE LA SUPERFICIE PUEDE SER INFINITO.
EL CAPITULO III GIRA EN TORNO AL TEOREMA GRANDE DE PICARD. SE PLANTEA DECIDIR CUANDO UNA FUNCION HOLOMORFA DEFINIDA EN UN ENTORNO DE UN CONJUNTO E EN EL PLANO Y CON VALORES EN UNA SUPERFICIE DE RIEMANN S PUEDE EXTENDERSE SOBRE E. SE INTRODUCE UNA NOCION QUE MIDE LO RELATIVAMENTE AISLADOS QUE ESTAN LOS PUNTOS DE UN CONJUNTO, Y DE MANERA GEOMETRICA SE OBTIENE, POR EJEMPLO:
SI E ESTA BASTANTE AISLADO (POR EJEMPLO, UN CONJUNTO DE CANTOR CON RAZON DE DISECCION PEQUEÑA) Y S ES COMPACTA DE SISTOLE SUFICIENTEMENTE GRANDE, ENTONCES LAS FUNCIONES HOLOMORFAS CON VALORES EN S SE EXTIENDEN SOBRE E. SE DA TAMBIEN UN ARGUMENTO GEOMETRICO QUE CLARIFICA Y EXTIENDE RESULTADOS DE CARLESON SOBRE TEOREMAS DE TIPO PICARD CON CONJUNTO E "GRANDE".
