Resumen de Teoremas tipo hahn-banach y optimización no lineal
Pablo Montiel López
El desarrollo del análisis convexo ha ido en paralelo al de la optimización desde sus comienzos, cuando surgieron versiones seminales del teorema de Hahn-Banach en forma de teoremas de la alternativa. Precisamente con relación a este resultado central del análisis convexo y funcional, es cuanto menos significativo que en el siglo y medio transcurrido aproximadamente desde entonces, su estudio no haya dejado de estar vigente. Es justamente en ese punto donde se enmarca la investigación que presentamos en esta tesis, estableciendo nuevas versiones del teorema de Hahn-Banach y aplicándolas a programación no lineal.
La memoria consta de cuatro capítulos, el primero de los cuales se ocupa de recoger algunos conceptos y resultados del mundo convexo y funcional, que si bien son conocidos, servirán para contextualizar y abordar los problemas que se tratan. Mención especial merece el teorema de Mazur-Orlicz, reformulación equivalente del teorema de Hahn-Banach que se ha revelado como una potente herramienta en diversos campos como optimización, análisis convexo, operadores monótonos o teoría minimax.
El segundo capítulo tiene por objeto establecer a partir del teorema de Mazur-Orlicz un teorema tipo Hahn-Banach en dimensión finita, óptimo en un sentido, así como utilizarlo en la obtención de resultados tipo Karash-Kuhn-Tucker, Fritz John y multiplicadores de Lagrange en programación semi-infinita (número finito de restricciones en dominios arbitrarios). Tal resultado es una mejora de una reformulación del teorema de Hahn-Banach, el del máximo de König, que se pone en equivalencia al principio del capítulo -una ligera mejora- con el teorema de la alternativa de Gordan y un teorema de funciones convexas de Simons. De hecho, se comprueba que la clase de convexidad donde es válido es la de las funciones infsup-convexas, cuyo estudio se remonta al de las desigualdades minimax. Como consecuencia, se obtienen los resultados citados en programación no lineal, que no solo mejoran los clásicos e incluso los más generales en ambiente quasiconvexo o convexo en el sentido de Fan, sino que son óptimos.
Por su parte, el Capítulo 3 abre con una extensión óptima del teorema del máximo de König, el teorema del supremo de König, que a diferencia de aquel, permite trabajar en un espacio de funciones acotadas cualquiera. De hecho, no es más que otra forma equivalente del teorema de Hahn-Banach. Nosotros deducimos del teorema de Mazur-Orlicz una generalización que vuelve a ser óptima, lo que permite, debido a su carácter no necesariamente finito dimensional, obtener resultados óptimos para programas infinitos, en los que se considera un número arbitrario de restricciones tipo desigualdad, para mutiplicadores de Lagrange y condiciones Karush-Kuhn-Tucker o Fritz John.
Concluimos con un último capítulo dedicado a probar los resultados citados de programación no lineal en el contexto más general: dominios cualesquiera y un número arbitrario de restricciones tipo desigualdad o igualdad. El punto de partida que consideramos ahora es el teorema de separación de convexos, por ser mas popular en el ambiente de la optimización que los teoremas del máximo o supremo de König. Los resultados en programación infinita que se derivan vuelven a ser óptimos en términos de infsup-convexidad.
