Resumen de Formulación lagrangiana: simetrías y reducción
Lucía Búa Devesa
La formulación geométrica de las ecuaciones de Euler-Lagrange de la Mecánica Clásica está basada en las estructuras geométricas del fibrado tangente TM de la correspondiente variedad de configuración M.
Una descripción geométrica de las ecuaciones, de Hamilton y de Euler-Lagrange, de las Teorías Clásicas de Campos, se puede hacer utilizando los formalismos k-simpléctico y k-cosimpléctico [LMORS, LMS, MRS]. Estos se pueden considerar como el paso intermedio entre el formalismo simpléctico y cosimpléctico, con los que se formula geométricamente la Mecánica, y el formalismo multisimpléctico [CCI, GIM1, GIM2].
Una de las características de dichos formalismos, k-simpléctico y k-cosimpléctico, es su sencillez, sólo se utilizan fibrados tangentes y cotangentes.
Los objetivos fundamentales de esta memoria han sido: 1) el estudio de simetrías en la Teoría Clásica de Campos, utilizando el formalismo k-simpléctico, 2) la reducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange y la construcción de soluciones, utilizando también, el formalismo k-simpléctico, con un procedimiento similar al utilizado en [MC], 3) el desarrollo de un nuevo formalismo geométrico para las ecuaciones de Euler-Lagrange cuando el lagrangiano depende de las variables espacio-tiempo, y la introducción y estudio de las simetrías generalizadas utilizando este nuevo formalismo. En este punto hemos utilizado teoría de jets.
Los resultados correspondientes a 1), 2) y 3) están recogidos en los artículos: 1) Symmetries, Newtonoid vector fields and conservation laws in the Lagrangian k-symplectic formalism. Lucía Búa, Modesto Salgado y Ioan Bucataru Reviews in Mathematical Physics Vol. 24, No. 10 (2012) 1250030 (24 pages).
2) Symmetry reduction, integrability and reconstruction in k-symplectic field theory.
Lucía Búa, Tom Mestdag y Modesto Salgado. Journal of Geometric Mechanics 74(4) (2015) 395-429.
3) Symmetries in Lagrangian Field Theory. Lucía Búa, Ioan Bucataru, Manuel de León, Modesto Salgado y Silvia Vilariño. Reports on Mathematical Physics, Vol. 75, No. 3 (2015) 333-357.
Los resultados de esta memoria son una continuación de los obtenidos en las tesis doctorales de Eugenio Merino: Geometría k-simpléctica y k-cosimpléctica. Aplicaciones a las teorías clásicas de campos. USC (1997), y de Silvia Vilariño: Nuevas aportaciones al estudio de los formalismos k-simpléctico y k-cosimpléctico USC (2009), dirigidas por Modesto Salgado, Profesor Titular del Departamento de Xeometría e Topoloxía USC.
La memoria se ha dividido en dos partes diferenciadas, a continuación se describe, capítulo a capítulo, los contenidos: Parte I: Teoría k-simpléctica lagrangiana Capítulo 1: Formalismo k-simpléctico lagrangiano.
La finalidad de este primer capítulo es revisar la formulación k-simpléctica lagrangiana de las Teorías Clásicas de Campos de primer orden.
Capítulo 2: Simetrías.
El estudio de las simetrías y leyes de conservación para lagrangianos, utilizando el formalismo k-simpléctico, comenzó en el trabajo [RSV]. El correspondiente Teorema de Noether se demostró utilizando coordenadas locales. En este capítulo damos una demostración global y establecemos una condición bajo la cual leyes de conservación y simetrías de Cartan son equivalentes como en el caso de Mecánica [CFM].
Se termina el capítulo introduciendo los campos de vectores Newtonoides, se estudia su relación con las simetrías de Cartan y se establece un teorema de Noether, bajo ciertas condiciones. Estos campos de vectores Newtonoides fueron introducidos por Marmo y Mukunda [MM], en el caso de la Mecánica.
Capítulo 3: Campos de k-vectores invariantes.
En este capítulo se considera la acción (libre y propia) de un grupo de Lie G sobre una variedad M y su extensión natural a la acción del grupo de Lie sobre el fibrado T_k^1 M de las k^1-velocidades de M. Esto permite introducir la noción de campos de k-vectores G-invariantes en el fibrado T_k^1 M, y campos de k-vectores reducidos en el fibrado 〖(T〗_k^1 M)/G.
Se describe la integrabilidad de dichos campos de k-vectores en términos de la anulación de la curvatura de ciertas conexiones asociadas a dichos campos de k-vectores.
Capítulo 4: Reducción de un campo de k-vectores lagrangiano.
En este capítulo se demuestra que si el lagrangiano es G-invariante, entonces los SOPDEs (ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden) lagrangianos también lo son. Las secciones integrales del SOPDE reducido aportan las ecuaciones de Lagrange-Poincaré.
Finalmente se estudia la integrabilidad de un SOPDE G-invariante y de su SOPDE reducido.
Capítulo 5: k-conexiones y reconstrucción.
Las condiciones de integrabilidad que se han estudiado en los capítulos anteriores proporcionan condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una sección integral de un campo de k-vectores invariante. Sin embargo, no proporciona un método con el cual se pueda realmente construir tal sección.
En este capítulo, se estudia y proporciona tal método. Se comienza definiendo la noción de k-conexión, la cual es necesaria para la reconstrucción de una sección integral de un campo de k-vectores invariantes a partir de una sección de su campo de vectores reducido.
Parte II: Teoría lagrangiana en fibrados de jets Capítulo 6: Fibrados de jets.
En este capítulo se definen las herramientas necesarias para la segunda parte de la memoria, como son los campos de vectores, campos de k-vectores y formas a lo largo de aplicaciones. Además se introducen los elementos geométricos en J^1 π necesarios para desarrollar el nuevo formalismo geométrico: los campos de vectores canónicos, los endomorfimos verticales y un tipo de campos de k-vectores, conocidos como SOPDEs que describen sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. En toda la segunda parte de la memoria se considera un fibrado π:E→ R^k sobre el espacio euclídeo k-dimensional.
Capítulo 7: Teoría de Campos lagrangiana: formulación geométrica.
En este capítulo se comienza describiendo las formas de Poincaré-Cartan, que permitirán desarrollar la formulación geométrica de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange, y se estudia la relación de dicho formalismo con la formulación k-cosimpléctica. Finalmente, se estudia una nueva interpretación de las ecuaciones de Euler-Lagrange, utilizando la noción de f-derivación asociada a un campo de vectores a lo largo de la función f. Esto proporciona una generalización de las derivaciones de Tulczyjew introducidas en [T1, T2].
Capítulo 8: Simetrías y leyes de conservación.
En este capítulo se estudian las simetrías y leyes de conservación. Se introducen las simetrías generalizadas del lagrangiano que consisten en transformaciones infinitesimales dependientes de las velocidades y se prueba el teorema de Noether, el cual asocia a cada simetría una ley de conservación.
Considerando el fibrado trivial, se recuerdan las definiciones de las simetrías variacionales de las ecuaciones de Euler-Lagrange [O], y de las simetrías de Noether [MRSV] y se establecen relaciones entre estos dos tipos de simetrías y las simetrías generalizadas.
Capítulo 9: Problema inverso.
Partiendo de un SOPDE arbitrario, se establecerán condiciones bajo las cuales existe un lagrangiano que determina dicho SOPDE.
BIBLIOGRAFÍA [CCI] Cariñena, J. F., Crampin, M., Ibort, L. A. On the multisymplectic formalism for first order field theories, Differential Geom. Appl. 1(1991), no. 4.
[CFM] Cariñena, J. F., Fernández-Núñez, J., Martínez, E. Noether’s theorem in time-dependent Lagrangian Mechanics, Reports in Mathematical Physics, 31(1992).
[GIM1] Gotay, M., Isenberg, J., Marsden, J. E. Momentum Maps and Classical Relativistic Fields, Part I: Covariant Field Theory (1997). Véase www.arxiv.org: [2004] physics/9801019 [GIM2] Gotay, M., Isenberg, J., Marsden, J. E. Momentum Maps and Classical Relativistic Fields, Part II: Canonical analysis of Field Theories (1999). Véase a www.arxiv.org: [2004] math-ph/0411032 [LMORS] de León, M., Merino, E., Oubiña, J. A., Rodrigues, P. R., Salgado, M. Hamiltonian systems on k-cosymplectic manifolds. J. Math. Phys. 39(1998).
[LMS] de León, M., Merino, E., Salgado, M. k-cosymplectic manifolds and Lagrangian field theories, J. Math. Phys. 42(2001).
[MM] Marmo, G., Mukunda, N. Symmetries and constants of the motion in the Lagrangian formalism on TQ: beyond point transformations, Nuovo Cim. B, 92(1986).
[MRSV] Marrero, J.C. ,Román-Roy, N., Salgado, M., Vilariño, S. On a kind of Noether symmetries and conservation laws in k-cosymplectic Field Theory, Journal of Mathematical Physics 52(2011), 022901.
[MC] Mestdag, T., Crampin, M. Invariant Lagrangians mechanical connections and the Lagrange-Poincare equations, J. Phys. A: Math. Theor 41 (2008), 344015.
[MRS] Munteanu, F., Rey, A., Salgado, M. The Günther's formalism in classical field theory: momentum map and reduction. Journal of Mathematical Physics 45(2004), no. 5.
[O] Olver, P. J. Applications of Lie groups to di_erential equations, Graduate Texts in Mathematics 107. Springer-Verlag, New York. (1986).
[RSV] Román-Roy, N., Salgado, M., Vilariño, S. Symmetries and conservation laws in the Günther k-symplectic formalism and field theory. Reviews in Mathematical Physics, Vol. 19, No. 10 (2007).
[T1] Tulczyjew, W. M. Les sous-vari_et_es lagrangiennes et la dynamique lagrangienne, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 283(8) (1976).
[T2] Tulczyjew, W. M. Les sous-vari_et_es lagrangiennes et la dynamique hamiltonienne, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 283(1) (1976).
