Resumen de Submanifolds in complex projective and hyperbolic planes

Cristina Vidal Castiñeira

• español

  Muchos matematicos han intentado caracterizar ciertos tipos de subvariedades homog eneas a traves de diferentes propiedades geometricas. Un problema clasico es el de determinar en que medida la propiedad de tener un peque~no numero jo de curvaturas principales distintas impone restricciones sobre la geometra de una hipersuper cie. En el contexto de los espacios proyectivo e hiperbolico complejos, los trabajos de Tashiro y Tachibana mostraron que no hay ejemplos de hipersuper cies umblicas. Por otro lado, Cecil y Ryan, y Montiel, llevaron a cabo la clasi cacion de hipersuper cies reales con 2 curvaturas principales en CPn y CHn de dimension n  3, mostrando que todos los ejemplos son hipersuper cies homogeneas. Sin embargo, tal y como establecen Niebergall y Ryan, queda abierta la cuestion de la existencia y clasi cacion de las hipersuper cies reales con 2 curvaturas principales no constantes en dimension n = 2. En esta tesis, mostramos que existen tales ejemplos y los clasi camos, mostrando as que no todos los ejemplos son homogeneos.

  Los ejemplos que aparecen en esta clasi cacion veri can una serie de propiedades interesantes.

  Estas propiedades tambien estan presentes en ciertas subvariedades homogeneas no Hopf del espacio hiperbolico complejo, as como en los ejemplos de hipersuper cies de cohomogeneidad uno con curvatura media constante construidos por Gorodski y Gusevskii. Por tanto, es natural la idea de establecer un concepto nuevo que resuma estas caractersticas, al cual llamaremos hipersuper cie fuertemente 2-Hopf. De esta manera llevamos a cabo la caracterizacion de las hipersuper cies fuertemente 2-Hopf en los planos proyectivo e hiperbolico complejos. Posteriormente, intentamos generalizar la construccion de los ejemplos mencionados anteriormente. Motivados por el problema abierto de la existencia de ejemplos de hipersuper cies Levi-llanas compactas sin singularidades en el plano proyectivo complejo, abordamos el estudio de las hipersuper cies fuertemente 2-Hopf que son Levi-llanas en CP2 y CH2, pudiendo demostrar, a nivel local, la existencia de multiples ejemplos. Finalmente, con el n de obtener ejemplos concretos, impusimos que nuestra hipersuper cie fuera fuertemente 2-Hopf, Levi-llana con curvatura media constante. Llegados a este punto, uno se da cuenta de que tal hipersuper cie resulta ser austera. Por tanto, procedemos a la clasi cacion de las hipersuper cies austeras en CP2 y CH2, cuyo vector de Reeb proyecta en 1 o 2 espacios de curvaturas principales. Este resultado nos proporciono una interesante caracterizacion de tres importantes tipos de hipersuper cies regladas mediante la propiedad de ser austeras.

  Todas estas construcciones fueron posibles gracias al metodo de geometra equivariante aplicado a una accion polar de cohomogeneidad dos en el espacio ambiente. La importancia de la geometra de las orbitas principales de esas acciones polares nos llevo a preguntarnos si sera posible caracterizar tales orbitas mediante alguna propiedad geometrica adecuada.

  Motivados por clasi caciones recientes de hipersuper cies isoparametricas en CPn y CHn, abordamos el estudio de las subvariedades isoparametricas en los los espacios proyectivo e hiperbolico complejos de dimension n = 2, como primer paso hacia una comprension de estos objetos en codimension arbitraria. Las subvariedades isoparametricas en el espacio proyectivo complejo han sido clasi cadas por Domnguez-Vazquez, donde aparecen ejemplos no homogeneos. Para el caso hiperbolico, el problema se vuelve mas complicado y permanece abierto. En esta tesis, llevamos a cabo la clasi cacion de subvariedades isoparametricas para el caso de dimension n = 2. Ademas, estudiamos tambien la de nici on de isoparametricidad de Terng que aun no haba sido estudiada en subvariedades de codimension mayor que uno en espacios de curvatura no constante.

• English

  In this PhD thesis we study submanifolds in complex projective and hyperbolic spaces. More specifically, we classify isoparametric and Terng-isoparametric submanifolds. The former correspond to principal orbits of polar actions, whereas the latter are homogeneous but not necessarily arising from polar actions. We also study real hypersurfaces with two distinct principal curvatures, show that there are non-Hopf inhomogeneous examples, and characterize them. Using the method of equivariant geometry, we investigate strongly 2-Hopf hypersurfaces and give some applications for Levi-flat and constant mean curvature hypersurfaces. Finally, we classify austere hypersurfaces such that the number of nontrivial projections of the Hopf vector field onto the principal curvature spaces is less or equal than two; all the examples are ruled in this case.