Resumen de Isoparametric foliations and polar actions on complex space forms

Miguel Domínguez-Vázquez

• español

  Las órbitas de acciones isométricas se denominan subvariedades homogéneas. El estudio y la caracterización de estas subvariedades han dado lugar a un área interesante de investigación dentro de la geometría diferencial.

  Se han propuesto diversas condiciones geométricas con el objetivo de caracterizar las subvariedades homogéneas. Nosotros nos hemos centrado en los conceptos de hipersuperficie con curvaturas principales constantes y de foliación isoparamétrica.

  Sin embargo, a veces estos objetos geométricos admiten ejemplos no homogéneos. Por un lado, hemos abordado el estudio de este fenómeno y construido nuevos ejemplos. Por otro lado, hemos obtenido resultados de clasificación de estas estructuras geométricas en espacios simétricos de rango uno y, más concretamente, en los espacios de curvatura holomorfa constante. Por ejemplo, hemos abordado el estudio de las foliaciones isoparamétricas de codimensión uno en los espacios hiperbólicos complejos, y de codimensión arbitraria en los espacios proyectivos complejos.

  Las acciones polares son cierto tipo de acciones isométricas con unas propiedades particularmente interesantes. Su clasificación es aún hoy un problema abierto en los espacios simétricos de tipo no compacto. Hemos abordamos su clasificación en los espacios hiperbólicos complejos.

• English

  The notion of symmetry underlies a large number of new ideas and major advances in Science, Engineering and Art. From the mathematical viewpoint, the intuitive idea of symmetry as the balanced correspondence of shape along space translates to the existence of a transformation group acting on such space. The rst natural eld for the study of symmetry is then geometry.

  Conversely, in his in uential Erlanger Programm, Felix Klein described geometry as the study of those properties of a space that are invariant under a transformation group. Hence, symmetry lies in the very core of geometry.

  In Riemannian geometry, the natural group to consider is the isometry group, that is, the group of those transformations of the space that preserve distances. The action of a subgroup of the isometry group of a given manifold is called an isometric action. Its cohomogeneity is the lowest codimension of its orbits. Each one of the orbits of such an isometric action is called an (extrinsically) homogeneous submanifold, and the collection of all the orbits is the orbit foliation of the action.

  The main objects of study in this thesis are certain kinds of submanifolds with a particularly high degree of symmetry. Our ultimate goal is to decide whether the intuitive notion of symmetry is re ected in the mathematical notion of symmetry, namely if the correspondence of shape at di erent parts of the submanifold implies that the submanifold is homogeneous.