Resumen de Combinatorial dynamics of strip patterns of quasiperiodic skew products in the cylinder

Leopoldo Morales López

• La tesi consta de dues parts. En la primera s'estenen els resultats i tècniques de Fabbri et al. 2005 per estudiar la dinàmica combinatòria, el <> i l'entropia topològica de certes aplicacions triangulars al cilindre forçades quasiperiòdicament. Aquesta teoria dóna com a corol.lari una demostració més estructurada del Teorema de Sharkovski per aquest cas, demostrat inicialment a Fabbri et al., 2005. Quant a l'entropia es defineix la noció de ferradura en aquest context i es prova, com en el cas de l'interval, que si una d'aquestes funcions té una s-ferradura llavors la seva entropía topològica és més gran o igual a log s. D'això se'n dedueixen fites inferior de l'entropia en funció dels períodes de les orbites periòdiques. Això representa una extensió dels resultats anàlegs a l'interval a aquest context. En el context anterior sorgeix de manera natural la següent pregunta: El Teorema de Sharkovsky es compleix restringit a corbes en lloc de bandes generals? L'objectiu de la segona part de la memòria és el de respondre a aquesta pregunta de forma negativa mitjançant un contraexample: Es construeix una funció que té una òrbita periòdica de període 2 de corbes (que són, de fet, els cercles superiors i inferiors del cilindre) i sense cap corba invariant (solament té una pseudocorba invariant). En particular, això demostra que hi ha aplicacions triangulars al cilindre forçades quasiperiòdicament sense corbes invariants. Aquest és el primer resultat analític d'aquesta naturalesa que apareix a la literatura malgrat l'existencia d'evidències numèriques prèvies en aquest sentit. Els resultats obtinguts són solament una primera fase en la comprensió analítica/topològica de la dinàmica d'aquestes aplicacions, el que obra una via de treball futura.