Resumen de Study of the algebraic structure of left braces and the yang-baxter equation
David Bachiller
Aquesta tesi doctoral tracta de l’estructura algebraica anomenada braça no commutativa per l’esquerra, i de les seves aplicacions a les solucions conjuntistes no degenerades de l’equació de Yang-Baxter. Concretament, estudiem els següents problemes: (1) Construïm totes les solucions conjuntistes no-degenerades associades a una braça per l’esquerra no commutativa donada. A més, demostrem que totes les solucions no-degenerades involutives es poden construir a partir de braces per l’esquerra amb una construcció similar. Aquests resultats estan continguts als Capítols 2 i 3. Això redueix el problema de la classificació de solucions conjuntistes no-degenerades de l’equació de Yang-Baxter a la classificació de braces per l’esquerra no commutatives, un problema que tractem d’estudiar a la resta de la tesi. (2) A la Secció 4.1, presentem dos mètodes nous per a construir braces per l’esquerra: extensions de braces per l’esquerra per ideals trivials, i matched product de braces. Aquestes construccions estan basades en les construccions anàlogues en grups. (3) Motivats per les extensions de braces, a la Secció 4.2 construïm la primera família de braces per l’esquerra simples no trivials. Per a aconseguir-ho, fem servir la construcció de matched products que havíem definit prèviament. (4) Responent a una pregunta de Cedó, Jespers i del Río, trobem el primer exemple de p-grup finit que no és grup multiplicatiu d’una braça per l’esquerra. Això demostra que no tot grup finit resoluble és grup multiplicatiu d’una braça per l’esquerra. Aquest resultat es troba a la Secció 4.3. (5) Finalment, classifiquem totes les braces per l’esquerra d’ordre p, p^2 i p^3, on p és un primer. Aquest resultat es troba contingut a la Secció 4.4 i al Capítol 5.
