Resumen de Construccions aritmètico-geomètriques de grups de Galois: = Imágenes de las representaciones de Galois

Amadeu Reverter Castellà

• EN ESTA TESIS ESTUDIAMOS LAS IMAGENES DE LAS REPRESENTACIONES DE GALOIS ASOCIADAS A ALGUNOS OBJETOS ARITMETICO-GEOMETRICOS, COMO LOS PUNTOS DE P-TORSION DE CURVAS ELIPTICAS Y FORMAS MODULARES,SI E/Q ES UNA CURVA ELIPTICA SIN MULTIPLICACION COMPLEJA Y DE CONDUCTOR N MENOR O IGUAL 200, HEMOS HALLADO LOS NUMEROS PRIMOS P TALES QUE LA REPRESENTACION ASOCIADA A LOS PUNTOS DE P-TORSION DE E NO ES EXHAUSTIVA, Y EN ESTE CASO, HEMOS DETERMINADO EL SUBGRUPO DE GL2 (FP), IMAGEN DE LA REPRESENTACION. DAMOS POLINOMIOS CON GRUPOS DE GALOIS ISOMORFOS A LAS IMAGENES DE LAS REPRESENTACIONES, Y ESTUDIAMOS LAS REPRESENTACIONES DE GALOIS ASOCIADAS A LAS VARIEDADES ABELIANAS PRODUCTO DE DOS CURVAS ELIPTICAS.

  MEDIANTE EL ESTUDIO DE LAS IMAGENES DE LAS REPRESENTACIONES DE GALOIS ASOCIADAS A FORMAS MODULARES, HEMOS ENCONTRADO NUEVAS SOLUCIONES AL PROBLEMA INVERSO DE LA TEORIA DE GALOIS. DAMOS UNA CONDICION SUFICIENTE PARA ASEGURAR QUE LOS GRUPOS PSL2 (FP2N) Y PGL2 (FP2N+1) SON GRUPOS DE GALOIS SOBRE Q, PARA UN NUMERO INFINITO DE PRIMOS P. ADEMAS, HEMOS OBTENIDO UN TEST PARA ENCONTRAR NUMEROS PRIMOS P TALES QUE ESTOS GRUPOS APARECEN COMO GRUPOS DE GALOIS SOBRE Q. EN PARTICULAR, HEMOS OBTENIDO QUE LOS GRUPOS PSL2(FPR), SI 2 MAYOR O IGUAL R MAYOR O IGUAL 10, Y PGL2 (FPS), SI 3 MAYOR O IGUAL S MAYOR O IGUAL 9, SON GRUPOS DE GALOIS SOBRE Q, PARA UN NUMERO INFINITO DE PRIMOS P. FINALMENTE, HEMOS DEMOSTRADO QUE EL GRUPO PSL2 (FP2) ES GRUPO DE GALOIS SOBRE Q, PARA TODO NUMERO PRIMO P MAYOR O IGUAL 2069.