Métodos de integración geométrica. Análisis y algoritmos numéricos

• Autores: Mladen Williams Nadinic Cruz
• Directores de la Tesis: Fernando Casas Pérez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat Jaume I ( España ) en 2016
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Damián Ginestar Peiró (presid.) , Vicente Martínez García (secret.) , Sergio Blanes Zamora (voc.)
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  • Tesis en acceso abierto en: TDX
• Resumen

  • Con el advenimiento de los computadores modernos, a mediados del siglo XX, los métodos numéricos presentaron un auge creciente. Ellos eran algoritmos, en su mayoría bastante sencillos, que permitían resolver problemas cuyo símil analítico resultaba altamente complejo o intratable en muchas ocasiones. Sin embargo, los métodos más clásicos, como los de la familia de Runge-Kutta, para resolver problemas de valor inicial, mostraron prontamente ser inadecuados para representar el comportamiento de la solución que fuese aceptable con la realidad física que era el contexto del fenómeno de la problemática. Bajo este escenario surgieron una serie de métodos numéricos simplécticos, que permitían representar características claves del problema físico que modelaban.

    El objetivo central de esta tesis es seguir la cruzada iniciada hace algunas décadas, para la creación, análisis y aplicación de nuevos métodos numéricos de integración geométrica. Con ello se garantiza una calidad importante de los resultados numéricos, ya que en estos métodos se incorporan principios o leyes físicas, que van impactando favorablemente en los elementos iterativos o recursivos de estos procedimientos.

    El marco teórico donde se desarrolla la genésis de estos métodos son los grupos y álgebras de Lie. Estas estructuras algebraicas, ampliamente estudiadas, dan el entorno propicio para la construcción de nuevos algoritmos simplécticos.

    A lo largo de este trabajo, se presentan diversos métodos integración geométrica, algunos ya clásicos, como los basados en la expansión de Magnus, y otros nuevos como el método de Splitting de paso fijo y h-adaptativo, o el método de Voslamber. También se construye un nuevo procedimiento recursivo eficiente, para obtener en forma sistemática y de cantidad arbitraria, los términos necesarios para la fórmula de Zassenhaus, así como la variante continua de este, conocida como fórmula de Wilcox. Para cada método presentado se analizan sus principales características, mostrando sus resultados a situaciones de interés, ya sea en la ciencia aplicada o bien como instancias que los pongan a prueba o permitan hacer comparaciones, en especial sobre su precisión y uso de recursos como tiempo de CPU y memoria de computación requeridos, en versiones implementadas en software como, Mathematica o Matlab.