Resumen de Modelos homológicos pequeños de dga-algebras conmutativas.
En esta memoria proponemos un método para calcular la n -homología de una DGA-álgebra conmutativa, basado esencialmente en la maquinaria de perturbación homológica. En una primera etapa, establecemos un método de cálculo n-homológico en el caso conexo y libre, analizamos aspectos relacionados con la eficiencia de este algoritmo y en casos particulares realizamos cálculos explícitos. Posteriormente, planteamos y discutimos el caso general. Finalmente, usando nuevamente técnicas de perturbación, se derivan sendos métodos de cálculo de la homología de Hochschild y cíclica de DG-álgebras conmutativas conexas y libres. Indagando en la historia del Álgebra Homológica, que es donde se enmarca esta memoria, nos remontamos a los años cuarenta, donde encontramos los ya clásicos trabajos de Eilenberg y Mac Lane, Faddeev y Baer, entre otros. De la mano de los dos primeros eminentes matemáticos puede decirse que nace el Álgebra Homológica, en sus artículos [13] y [14], fuentes de aún hoy frecuente consulta. Sin embargo, el modus operandi que se muestra en estos trabajos (esencialmente, trabajar con equivalencias de homotopía explícitas) fue relegado hacia finales de los años cincuenta, dado que de esa forma no se había podido diseñar métodos efectivos de cálculo de grupos de homología de unos espacios de extrema importancia en teoría de homotopía como son los espacios de Eilenberg-MacLane K (π, n), que dependen de un grupo abeliano π y de un entero positivo n. Estos espacios pueden considerarse espacios “primos” y cualquier espacio puede ser factorizado como producto cartesiano “torcido” de espacios de Eilenberg-MacLane. Gracias al pujante impulso de Cartan, Serre y la escuela de Grothendieck, la comunidad matemática abandonó las técnicas hasta entonces desarrolladas y se consideraron métodos innovadores como las resoluciones, las sucesiones espectrales (por ejemplo, sucesiones espectrales de Serre) y las filtraciones. La transición es fácilmente apreciable en la monografía que escribieran Eilenberg y Cartan en 1956 ([12]), que podemos interpretar sin duda como la cesión del testigo en la carrera hacia el desarrollo fructífero del Álgebra Homológica. A partir de ahí hasta finales de la década pasada, destaca el uso frecuente de categorías trianguladas y derivadas, que permiten una aproximación a campos como la teoría de D-módulos y la teoría de representación. Gracias a la aparición, o quizás sea más correcto decir recopilación, de la Teoría de Perturbación Homológica ([47], [10], [19], [21], [22], [27]), el problema de la computabilidad en el álgebra Homológica ha cobrado un protagonismo principal. Gugenheim, Lambe y Stasheff en [21] y [22] (reexamiando el problema de perturbación homológica ya descrito por Wheisu Shih y Ronald Brown) han elaborado una teoría que complementa y enriquece los estudios hasta ahora llevados a cabo por Eilenberg y Mac Lane en el primer periodo. La mejora en las técnicas se consigue con la aparición de nuevos métodos (perturbaciones), y un estudio más detallado de los morfismos que intervienen en las equivalencias de homotopía definidas con anterioridad por estos matemáticos. Una vez hecho estos comentarios de carácter histórico, introducimos de manera informal los elementos básicos propios del Álgebra Homológica Diferencial. Los datos con los que trata el Álgebra Homológica Diferencial son, fundamentalmente, módulos graduados y un operador diferencial en ellos que preserva la sima y el producto por escalares, es decir, que es un morfismo de módulos, que disminuye el grado en una unidad y que verifica una condición de nilpotencia. Se llamarán DG-módulos. En el caso de poseer dichos DG-módulos de una estructura multiplicativa, es decir estar dotados de un producto compatible con el grado y la diferencial, estaremos tratando con DG-álgebras (éstas nos interesarán particularmente). Las DG-álgebras que trataremos en esta memoria serán siempre DG-álgebras conmutativas y nos interesa el estudo de un invariante algebraico característico de estos objetos: su homología, como principal discriminante para su tipo de homotopía. Debido a la condición de nilpotencia que verifica la diferencial de un DG-módulo, podemos hablar de su homología siguiendo su definición original, considerando los cocientes entre núcleos e imágenes de la diferencial en los grados correspondientes, pero a efectos de cálculo, la situación ideal sería que el DG-módulo fuese libre y de tipo finito, pues en tal caso el operador diferencial admite una representación matricial y la homología del DG-módulo se calcularía de manera sencilla utilizando un clásico algoritmo matricial (descrito ya en los años treinta por Veblen [50]). Ahora bien, ¿qué ocurre cuando no tengamos un DG-módulo de tipo finito? Es decir, cuando necesitamos calcular la homología de un DG-módulo que no tiene un número finito de generadores en cada grado, ¿cómo calculamos su homología? Para solucionar este problema, hacemos uso de la Teoría de Perturbación Homológica, en la que el concepto fundamental es el de contracción, unos tipos de equivalencia de homotopía que se establecen entre un DG-módulo y otro “menor” (con menor número de elementos), de manera que la homología de ambos coincide. La técnica básica dentro de esta Teoría consiste en perturbar el DG-módulo mayor de una contracción (es decir, crear pequeñas alteraciones en la estructura diferencial de dicho DG-módulo) y establecer una nueva contracción para el DG-módulo perturbado). Como ya habíamos adelantado, nos vamos a centrar en el estudio del caso concreto correspondiente a las DGA-álgebras conmutativas. Una DGA-álgebra A es una DG-álgebra dotada de una aumentación y coaumentación lo que, hablando grosso modo, no es más que establecer una “incrustación” adecuada del anillo de base en A0. Nosotros hemos considerado aquí DGA-álgebras en vez de simples DG-álgebras porque nuestro trabajo se encuentra influenciado de manera implícita por la Topología Algebraica Simplicial, donde los conjuntos simpliciales que se manipulan son frecuentemente punteados, es decir, con un elemento distinguido en grado cero. Este elemento particular hace que cuando nos traslademos al Algebra dispongamos de una aumentación natural. Ahora bien, el estudio que hemos hecho aquí es válido para simples DG-álgebras. Una herramienta estándar para el cálculo homológico de estos objetos es la construcción Bar. La homología de una DGA-álgebra debe comprenderse en dos etapas (véase [36]: la primera es la 0-homología, donde consideramos la DGA-álgebra como un simple DGA-módulo y realizamos el cálculo de la homología de la construcción Bar asociada al álgebra: el producto del álgebra, que no intervenía en la homología del álgebra como DG-módulo, sí desempeña un papel fundamental en la diferencial de la construcción Bar y, por tanto, en la homología asociada a ésta. La propiedad de la conmutatividad lleva asociada dos particularidades importantes: la primera, es que la construcción bar de una DGA-álgebra conmutativa A es, a su vez, una DGA-álgebra conmutativa conexa; la segunda, y que se deriva de la primera, es que podemos hablar pues de la n-homología de A (siendo n ≥ 1) como de la homología de la construcción bar iterada B ̅n(A). Ahora bien, el número desorbitado de generadores que presenta la construcción Bar al aumenta paulatinamente la dimensión considerada, hace imposible un tratamiento de bajo coste computacional a la hora del cálculo de la 1-homología. Para salvar estas deficiencias entra en juego la Teoría de Perturbación Homológica, en la que, como hemos dicho anteriormente, se establecen innovadores tratamiento para manipular contracciones. Gracias a estas nuevas técnicas, es posible trabajar de manera muy simple en la computación de la homología de ciertas DGA-álgebras. Nos interesamos por una clase de contracciones que presentan un buen comportamiento con respecto a las operaciones producto tensorial, composición y perturbación de contracciones. Estas contracciones son llamadas contracciones semicompletas y han sido estudiadas con detalle en [42]. En esta memoria trabajaremos en primer lugar con DGA-álgebras conmutativas libres y conexas, que llamaremos más abreviadamente DGC-álgebras, para después discuitr el caso general. Un primer resultado es la obtención de una contracción de álgebras semicompleta que va de la construcción Bar de una DGC-álgebra A de tipo finito (con un número finito de generadores en cada grado) a una DGC-álgebra de tipo finito con obstensiblemente, menor número de generadores que la primera (modelo homológico pequeño” de A). Gracias a este resultado, la homología de DGC-álgebras de tipo finito se leen directamente de las de las DGC-algebras pequeñas. En otras palabras, hemos dado una solución positiva al problema de la computabilidad de la 1-homología de una DGC-álgebra, haciendo uso de la maquinara de perturbación de [42]. Sin embargo, no es viable una implementación práctica del algoritmo, debido a la muy elevada complejidad que presenta en general. No obstante, en el caso de tratar una clase particular de DGA-álgebras podemos refinar este proceso algorítmico y reducir el cálculo homológico a la evaluación de simples “fórmulas” numéricas. Esto permitió una sencilla implementación en máquina informática para estos casos ([6]), lo que supuso un proyecto de fin de carrera (véase [7]) del cual fui codirectora. A continuación, atacamos el cálculo de la n-homología de DGC-álgebras para n > 1, apoyándonos nuevamente en los resultados de [42]. Haciendo uso de argumentos de cambios de bases, podemos “controlar” el comportamiento n-homológico de estas DG-álgebras y dar un método de cálculo. Un caso concreto es tratado para da una idea de la complejidad de este tema. A partir de los resultados obtenidos, se construyen por perturbación resoluciones pequeñas asociadas a las n-homologías de una DGC-álgebra con n ≥ 1. Comentamos posteriormente el caso general de DGA-álgebras conmutativas, sin imponer las hipótesis adicionales de ser libre ni ser conexa. Finalmente, planteamos una serie de cuestiones y problemas abiertos sobre el tema. Finalmente, es este trabajo estudiamos otras homologías como son la homología de Hochschild y la homología cíclica de una DGC-álgebra de tipo finito. El cálculo de la homología de Hochschild fue estudiado por Guccione y Gucciones que establecieron en [18] fórmulas recursivas para determinar la diferencial de un modelo homológico pequeño para una DG-álgebra conmutativa. Damos aquí una aproximación alternativa en el marco de la Teoría de Perturbación Homológica. El hecho de que esta Tesis proporcione una solución algorítmica para la homología de Hochschild fue ya tratado por Lambe en [31], pero no se consideró la preservación de estructuras de álgebras. Aquí utilizamos de nuevo las técnicas de perturbación de álgebras de [42] para describir un método general que calcule dicha homología. Hay una diferencia básica entre el método propuesto aquí y el dado por Guccione-Gucciones: aquí obtenemos más información homológica, es decir, damos explícitamente una equivalencia de homotopía; y esto nos permite usar inmediatamente nuestros resultados en este caso como punto de partida para obtener la homología cíclica, vía perturbación. El desarrollo de la homología cíclica es relativamente reciente, siendo Loday uno de sus principales impulsores. Es en los últimos años cuando está apareciendo los textos relacionados con esta materia (véase [34], [35]). Los principales aspectos que pueden destacarse de la homología cíclia son los siguientes: En primer lugar, posee fuertes lazos de unión con la homología de Hochschild y con la cohomología de Rham. En segundo lugar, permite la computación de la homología de álgebras de Lie de matrices. Además, la homología cíclica puede ser vista como una “K-teoría algebraica aditiva”. Por último, algunos problemas en Física Cuántica pueden ser formulados en términos de (co)homológica cíclica. A diferencia de la homología de Hochschild, el método de cálculo para la homología cíclica sería extremadamente complicado ya que no podremos utilizar resultados de preservación de las estructuras multiplicativas. En esta memoria presentamos un caso particular de interés donde esta. Un posible camino para abordar el tan complicado caso general de la homología cíclica, s el uso de las λ-operaciones descritas por Loday en [35]. Menciones que todos los temas de aquí se tratan han sido ya anteriormente presentados en foros especializados en forma de comunicaciones en congresos tanto nacionales ([44], [5], [6] y [2]), como internaciones ([4], [1]). La comunicación [4] ha dado lugar al artículo [3] que se publicará en Contemporary Mathematics. Estos trabajos fueron motivados por el problema de la computabilidad de la homología de DGA-álgebras conmutativas, pues obtener resultados positivos en forma de algoritmos eficientes sobre esta problemática repercutiría no sólo en las áreas matemáticas afines al Álgebra Homológica y a la Topología Algebraica, sino también en campos dispares tales como la Física Cohomológica [49], la Cuantización de Sistemas Gauges ([25]) y el Cálculo Secundario ([51]). Pasamos a describir el contenido por capítulo de la presente memoria. En el primer capítulo, exponemos los conceptos básicos de los que haremos uso a lo largo de este trabajo. Destacamos conceptos claves como son el de DGA-álgebra y el de la construcción Bar de una dicha DG-álgebra. El segundo capítulo está enteramente dedicado a la Teoría de Perturbación Homológica, pieza clave en el diseño de métodos de cálculo homológico. En primer lugar, se estudia en detalle el concepto de contracción para después, analizar la maquinaria de perturbación homológica, haciendo hincapié en las técnicas especializadas para DG-álgebras. En el Capítulo segundo, trabajando con DGC-álgebras, damos explícitamente una cadena de contracciones que permite calcular, en principio, la homología de cualquier DGA-álgebra de este tipo. Es decir, damos un método para la obtención de un modelo homológico pequeño para una DGC-álgebra de tipo finito. Asimismo, mostramos como caso particular una clase de DGC-álgebras para la cual obtenemos un algoritmo de cálculo de homología razonable. Subyace en todo este estudio la conocida “factorización” de toda DG-álgebra conmutativa en productos tensoriales torciods de álgebras exteriores y polinomiales. Por otra parte, garantizamos la existencia de un modelo homológico p-local (es decir, trabajando con el anillo de base Z localizado en un primo p) pequelo para la construcción Bar iterada de una DGC-álgebra de tipo finito. Obtenemos aquí un resultado muy técnico: controlamos la homología p-local de un producto tensorial torcido (PTT) de l álgebras exteriores y polinomiales modificadas, garantizado la existencia de un modelo homológico que es un producto tensorial de PTTs de k álgebras exteriores y polinomiales modificadas, con k ≤ l. También mostramos una familia de ejemplos donde la complejidad del proceso disminuye ostensiblemente. Estos resultados permiten aventurar que podrán encontrarse refinamientos similares para el caso general de una DGA-álgebra conmutativa cualquiera. Esta es la línea de investigación que se nos presenta en un futuro inmediato. Para finalizar, en el tercer capítulo, partiendo de los resultados obtenidos en el capítulo segundo, damos métodos de cálculo para la homología de Hochschild y cíclica de DGC-álgebras, quedando así divido en dos partes fundamentales: - La primera parte consta de dos secciones en las que se define el complejo de Hochschild para pasar después a describir nuestro método de cálculo paras la homología correspondiente. Como resultado fundamenta, podemos concluir que en el contexto conmutativo, la homología de Hochschild no aporta nada nuevo si la comparamos con nuestra primera definición de l-homología de una DGA-álgebra. A pesar de esto, nuestro método produce una contracción del complejo de Hochschild de una DG-álgebra conmutativa y un modelo homológico relativamente pequeño, que ser nuestro dato de partida para poder atacar, vía perturbación, el problema de la homología cíclica. - La segunda parte está comprendida por tres secciones. En la primera describimos el concepto de complejo cíclico. En la segunda exponemos nuestro método para el cálculo de la homología cíclica en el que destacamos la dificultad con respecto al caso de la homología de Hochschild. En la última sección del capítulo establecemos un caso especial en el que se puede simplificar considerablemente la dificultad que se plantea en el caso general.
