Resumen de On cocycle and uniform attractors for multi-valued and random non-autonomous dynamical systems
En esta tesis estudiamos el comportamiento a largo plazo de sistemas dinámicos multivaluados y aleatorios en términos de sus atractores globales. Comenzamos con el estudio de los atractores cociclo, pullback y uniforme para sistemas dinámicos no autónomos multivaluados. En primer lugar consideramos la relación entre estos tres tipos de atractores para encontrar que, bajo condiciones adecuadas, se implican entre sí. Encontramos además que estos atractores pueden caracterizarse por trayectorias (soluciones globales), lo que implica que el atractor uniforme tiene una propiedad de invarianza (lifted invariance), aunque, por definición, no posee la invarianza estándar. Finalmente, estudiamos tanto la semicontinuidad superior como inferior de estos atractores. Se introduce un equi-atracción débil para estudiar la semicontinuidad inferior, y se muestra con un ejemplo las ventajas de este método. Un sistema de reaccióndifusión y una inclusión diferencial ordinaria escalar se estudian como aplicaciones. A continuación estudiamos el caso aleatorio (pero univaluado), en el marco de los sistemas dinámicos aleatorios (RDS, por sus siglas en inglés). En primer lugar, se estudian los atractores cociclo para RDS y sistemas dinámicos aleatorios no autónomos (NRDS) con sólo una continuidad llamada cuasi fuerte a débil (abreviadamente cuasi-S2W). Esta continuidad se muestra heredable: si una aplicación es cuasi-S2W continua en algún espacio, entonces lo es automáticamente en espacios más regulares. Además, al establecer algunos criterios de existencia para los atractores cociclo, vemos que la continuidad cuasi- S2W es suficiente para derivar la medibilidad del atractor cociclo. Estas observaciones generalizan los teoremas de existencia conocidos para los atractores cociclo, por un lado, y, por otro, nos permiten estudiar estos atractores en espacios regulares sin demostrar la continuidad del sistema. Aplicando estos resultados a la teoría bi-espacial de atractores cociclos, establecemos un teorema de existencia que indica que la medibilidad de los atractores bi-espaciales es válida en espacio más regulares, no sólo en el espacio de fases básico como previamente en la literatura. En segundo lugar, para NRDS se comparan los atractores cociclos con universos de atracción autónomos y no autónomos, y luego para universos autónomos se establecen algunos criterios de existencia y caracterización. También estudiamos la semicontinuidad superior de estos atractores con respecto a los símbolos no autónomos, para hallar que un atractor cociclo es semicontinuo superiormente respecto a los símbolos si y sólo si es uniformemente compacto. En tercer lugar, establecemos una teoría de atractores uniformes (aleatorios) para NRDS. Definimos un atractor uniforme como el menor conjunto aleatorio compacto uniformemente atrayente. En cuanto a la definición, observamos que la propiedad de atracción uniforme de un atractor uniforme, de hecho, implica una atracción uniforme hacia adelante en probabilidad, e implica también una atracción pullback casi uniforme para sucesiones de tiempo discretas. Aunque no se requiere invarianza por definición, el atractor uniforme posee una semi-invarianza negativa. Estudiamos la existencia de atractores uniformes, y la relación entre los atractores uniformes y los atractores para los productos cruzados aleatorios (random skew-products). Para superar la dificultad de la medibilidad de los conjuntos aleatorios, se requiere que el espacio de símbolos sea Polish, que se tiene para funciones localmente integrables cuando el espacio de símbolos se define como la clausura de las mismas. Para la relación entre los atractores uniformes y cociclos encontramos, por un lado, que el atractor uniforme de un NRDS continuo se compone de estados involucrados en el atractor cociclo, y que, por el otro, puede ser descrito como el atractor cociclo de un RDS multivaluado (pero autónomo). Además, los atractores uniformes para NRDS continuos aparecen determinados (como en el caso de RDS aut\'onomos) por la atracción uniforme de conjuntos compactos no aleatorios. Como aplicaciones se estudian la existencia y caracterización de atractores cociclo y uniformes para la ecuación de reacción-difusión, la ecuación de Ginzburg- Landau y la ecuación bidimensional de Navier-Stokes con ruido blanco escalar.
