Resumen de Correspondencias diferenciales entre espacios de jets y sistemas de educaciones en derivadas parciales

Sonia Jiménez Verdugo

• El propósito de esta memoria es presentar una teoría general de correspondencias entre espacios de jets y aplicarla a los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, A lo largo de todo el trabajo usaremos la teoría de jets de Weil. Un jet de una variedad diferenciable V es un ideal p de su anillo de funciones diferenciables tal que el anillo cociente, -----, sea isomorfo a un álgebra local A de cierto tipo. Este punto de vista permite describier los procesos de prolongación, las estructuras afines, el sistema de contacto, etc., en términos del anillo de funciones de la variedad de partida; haciendo innecesaria la fibración de la variedad y simplificando notablemente los cálculos en coordenadas locales.

  En el marco de esta teoría de jets definimos correspondencias naturales entre espacios de jets como resultado de la simple relación de inclusión de ideales. Damos una nueva definición del sistema de contacto en los espacios de jets, que punto a punto se recupera como "ciertas diferenciales" de las funciones que componen el propio jet, y caracterizamos las correspondencias anteriores en términos de inclusiones entre los sistemas de contacto.

  El uso de estas correspondencias, a las que llamamos correspondencias de Lie, permite asociar a cada sistema dado de ecuaciones en derivadas parciales R de orden 1 en m variables independientes, un sistema de ecuaciones en derivadas parciales R* de primer orden con una única función incógnita, cuyas propiedades son bien conocidas. Relacionamos las soluciones de ambos:

  cada solución de R lo es de R*.

  Probamos que la prolongación de un sistema R de ecuaciones en derivadas parciales se recupera en términos de las correspondencias de Lie; ello permite aclarar el significado de las integrales intermedias de R, que se obtienen, cuando existen, como soluciones de R*.

  Como aplicación hacemos un estudio detallado de algunos tipos de sistemas de ecuaciones en derivas parciales, a l