Resumen de Fractal dimensions for fractal structuresand their applications to financial markets
Manuel Fernández Martínez 
La palabra fractal (que procede del término latino frangere, el cual significa ¿romper¿) ha dado origen a uno de los conceptos más importantes en el ámbito de las matemáticas en la actualidad. En efecto, el estudio y análisis de patrones fractales han resultado cada vez más importantes en diversas áreas de conocimiento científico, tales como economía, física y estadística, donde se han identificado estructuras fractales.
La herramienta básica que ha sido aplicada para estudiar este tipo de conjuntos es la dimensión fractal, ya que es el principal invariante de todo fractal que proporciona información de utilidad sobre la complejidad que presenta un determinado sistema cuando es examinado con suficiente nivel de detalle. Así pues, la teoría de la dimensión fractal ha sido aplicada en estudios de diversa índole, tales como sistemas dinámicos, diagnóstico de enfermedades, ecología, terremotos y análisis de la retina humana, sólo por citar algunos.
Los modelos más utilizados para el cálculo de la dimensión fractal de un espacio son los proporcionados por las dimensiones de Hausdorff y box-counting. Ambas nociones pueden definirse para cualquier espacio metrizable, y mientras la primera es más adecuada desde un punto de vista teórico, la última resulta más conveniente desde un punto de vista aplicado. Es importante tener en cuenta que todas las aplicaciones empíricas de estas nociones de dimensión fractal han sido realizadas en el ambiente de los espacios euclídeos a través de la dimensión box-counting.
La idea consistente en definir una medida por medio de recubrimientos de ciertos subconjuntos fue introducida por primera vez por Carathéodory en 1914. Años más tarde (1919), Hausdorff aplicó este método para definir las medidas que ahora llevan su nombre, y demostró que el conjunto ternario de Cantor tiene medida positiva y finita, de dimensión igual a log 2/ log 3.
El origen de la dimensión box-counting se remonta a los años veinte, cuando fue inicialmente estudiada por los pioneros que investigaban las propiedades de la dimensión de Hausdorff; principalmente, los alumnos de la escuela de Minkowski. Sin embargo, esta metodología fue rechazada en primera instancia por ser menos apropiada desde un punto de vista teórico. Posteriormente, en los años treinta, Pontrjagin y Schnirelman aportaron la definición clásica de la dimensión box-counting que se utiliza hoy día. La popularidad de la dimensión box-counting es debida, principalmente, a la posibilidad de calcularla o estimarla empíricamente.
Por otro lado, la introducción de las estructuras fractales ha permitido conectar diversos conceptos relativos a la teoría de fractales desde los puntos de vista teórico y aplicado. Una estructura fractal es, básicamente, una colección numerable de recubrimientos de un espacio determinado que proporciona aproximaciones cada vez más precisas del espacio total conforme exploramos niveles más profundos de la misma. Así, si analizamos la definición clásica de la dimensión box-counting, podemos observar que las estructuras fractales proporcionan un ambiente idóneo para plantear nuevos modelos válidos para el cálculo efectivo de la dimensión fractal. Además, el uso de las estructuras fractales permite conectar diversos aspectos topológicos, como casi-uniformidades transitivas, casi-metrización no arquimediana, metrización, dimensiones topológica y fractal, conjuntos autosimilares, e incluso curvas que rellenan un espacio. Por su parte, los conjuntos autosimilares constituyen una clase específica de fractales para los que siempre se puede definir una estructura fractal de manera natural, la cual nos permite estudiarlos desde el punto de vista de las estructuras fractales.
Uno de los principales objetivos de esta tesis consiste en aportar nuevos modelos matemáticos para el cálculo de la dimensión fractal de un conjunto dado en el contexto de las estructuras fractales, que posean interesantes propiedades analíticas (como es el caso de la dimensión de Hausdorff), pero que permitan su cálculo o estimación con facilidad (tal y como ocurre con la dimensión box-counting). De esta forma, la propuesta de discretizaciones convenientes de los modelos clásicos, conducirá a nuevas definiciones de dimensión fractal que heredarán algunas de las propiedades y ventajas de dichos modelos.
Para ello, en primer lugar, motivamos la forma en que se realiza cada definición, y luego proporcionamos expresiones válidas para el cálculo efectivo de tales dimensiones fractales desde un punto de vista práctico. Asimismo, demostramos varios resultados teóricos que relacionan cada definición de dimensión fractal que proponemos con las dimensiones clásicas, así como con otros modelos de dimensión fractal que planteamos. De este modo, generalizamos a la dimensión box-counting en el ámbito de los espacios euclídeos mediante las denominadas dimensiones fractales I, II y III, y posteriormente, obtenemos una generalización de la dimensión de Hausdorff en el contexto de las estructuras fractales por medio de las dimensiones fractales V y VI. Por otro lado, probamos que la dimensión fractal IV proporciona un modelo intermedio entre las dimensiones box-counting y de Hausdorff. Asimismo, también aportamos algunos resultados teóricos que permiten calcular las nuevas definiciones de dimensión fractal para conjuntos autosimilares por medio de sencillas ecuaciones que tan sólo tienen en cuenta los factores de autosimilaridad asociados con el correspondiente sistema de funciones iteradas.
Otro de los principales objetivos de esta obra es el de definir una estructura fractal inducida sobre el conjunto imagen de una curva definida sobre cualquier espacio métrico, lo cual nos permitirá, en particular, desarrollar una interesante aplicación de la teoría de la dimensión fractal para estructuras fractales en el campo de las finanzas. Así, para curvas irregulares, la aplicación de la denominada dimensión fractal III, que será calculada respecto a dicha estructura fractal inducida, proporcionará información útil sobre la estructura de tales curvas. En consecuencia, por medio de esta nueva herramienta, conseguimos distinguir y clasificar diferentes tipos de procesos, tales como movimientos brownianos (fraccionales), cuya relevancia se basa en su utilidad para modelizar procesos aleatorios (resp. con memoria a largo plazo) en series temporales. Estos movimientos han sido tradicionalmente aplicados para el análisis de memoria a largo plazo en series temporales financieras. En particular, relacionamos esta dimensión con el conocido exponente de Hurst para una amplia gama de procesos aleatorios, incluyendo movimientos brownianos fraccionales y vuelos de Lévy estables.
La discusión sobre la eficiencia de los mercados es un tema clásico en finanzas. De alguna forma, está relacionada con los movimientos brownianos, que son utilizados para modelizar el logaritmo del precio de acciones. Por otro lado, una alternativa es el estudio de memoria a largo plazo en las series temporales, lo cual se hace normalmente suponiendo que el logaritmo del precio de una acción puede ser modelizado por medio de un movimiento browniano fraccional. De esta forma, para estudiar memoria a largo plazo, los investigadores utilizan el exponente de Hurst como herramienta básica, y explícita o implícitamente, consideran un movimiento browniano fraccional como modelo para estas series temporales. Además, existe otra línea de investigación que involucra el uso de vuelos de Lévy estables (resp. fraccionales) como modelos para el logaritmo del precio de acciones. Nótese que este tipo de procesos resulta especialmente interesante para acciones que presentan una gran volatilidad.
En consecuencia, abordamos algunos objetivos desde el punto de vista de la econofísica, pero en el contexto de la topología no simétrica. Para ello, proporcionaremos algunas aplicaciones de este nuevo concepto de dimensión fractal al estudio de curvas, y en particular, de series temporales (financieras). En concreto, demostramos que esta nueva dimensión fractal está muy relacionada con el exponente de Hurst que usualmente se utiliza en finanzas para el estudio de memoria a largo plazo en series de precios de acciones.
Por tanto, proponemos nuevos algoritmos (basados en estructuras fractales) para calcular eficientemente la dimensión fractal de procesos aleatorios con incrementos estacionarios y autoafines, los cuales incluyen movimientos brownianos fraccionales y vuelos de Lévy estables fraccionales como casos particulares.
Para ello, definimos y desarrollamos los llamados algoritmos FD, y adaptamos algunos métodos existentes (como es el caso de los algoritmos GM) al contexto de las estructuras fractales. Después, obtenemos algunos resultados teóricos que relacionan el exponente de Hurst de los procesos aleatorios estudiados con su dimensión fractal, calculada de acuerdo a estos procedimientos. Del mismo modo, demostramos algunos resultados interesantes sobre la distribución de los incrementos de estos procesos aleatorios. También hemos testeado el comportamiento de estos algoritmos para estimar el exponente de Hurst (en el caso de movimientos brownianos fraccionales), y el exponente de autosimilaridad (en el caso de vuelos de Lévy estables), comparando la precisión de las distintas aproximaciones. En este sentido, obtenemos que las metodologías fractal y geométrica mejoran significativamente los resultados obtenidos por medio de las aproximaciones clásicas. Finalmente, aplicamos estos algoritmos al estudio de memoria a largo plazo en series temporales reales, correspondientes a la evolución de precios de acciones y a índices de mercados bursátiles internacionales, respectivamente.
