Resumen de Aplicaciones lineales que preservan la inversibilidad generalizada entre álgebras de Banach. Linear maps preserving generalized invertibility between Banach algebras

Antonio Carlos Márquez García

• El estudio de los llamados problemas de invariantes lineales se ocupa de la caracterización de las aplicaciones lineales (o, más generalmente, aditivas) entre álgebras de Banach que dejan invariante cierta función, propiedad, subconjunto o relación entre sus elementos. El primer artículo sobre este problema data de 1897, y desde entonces se han destinado muchos esfuerzos al avance de esta línea de investigación. A día de hoy, el estudio de los problemas de invariantes lineales es uno de los temas de investigación más activos y fructíferos en teoría de matrices, teoría de operadores y análisis funcional.

  En esencia, estos problemas se pueden clasificar en cinco tipos:

  (I) Invariantes de funciones, como la norma, el determinante de matrices o el radio espectral.

  (II) Invariantes de subconjuntos, como los idempotentes, los inversibles o los operadores Fredholm.

  (III) Invariantes de relación, como la ortogonalidad, el producto cero, la conmutatividad o los órdenes parciales.

  (IV) Problemas de tipo Hua: fueron iniciados en álgebras de Banach por M. Mbekhta y consisten en caracterizar aplicaciones que preservan aplicaciones del álgebra en sí misma (por ejemplo, la aplicación inverso a ---> a-1).

  (V) Invariantes aproximados, que estudian los problemas anteriores con la salvedad de que las funciones, subconjuntos, etc... no se preservan exactamente, sino que ¿casi¿ lo hacen.

  El objetivo de la tesis es contribuir al estudio de los problemas (III), (IV) y (V) en álgebras de Banach, C*-álgebras y JB*-triples.

  Dentro del problema (III), abordamos el estudio de aplicaciones lineales entre álgebras de Banach y C*-álgebras que preservan los siguientes órdenes parciales:

  - Orden sharp: demostramos que una aplicación lineal que preserva el orden sharp es un conveniente múltiplo de un homomorfismo de Jordan, siempre que el dominio un álgebra de Banach semisimple y unital con zócalo esencial (caso biyectivo) o una C*-álgebra unital de rango real cero (caso continuo).

  - Orden star: estudiamos las aplicaciones lineales que preservan una variante del orden star clásico. Emprendemos el estudio de los invariantes de este orden relacionándolo directamente con los invariantes lineales de la ortogonalidad. En concreto, probamos que toda aplicación lineal que preserva dicho orden preserva la ortogonalidad siempre que el dominio sea una C*-álgebra unital linealmente generada por sus proyecciones o una C*-álgebra unital de rango real cero (en el caso continuo).

  - Orden minus: estudiamos propiedades relativas al orden minus en álgebras de Banach y sus invariantes lineales. Describimos sus elementos maximales dentro de los regulares en álgebras primas unitales y sus elementos minimales en álgebras de Banach semisimples con zócalo esencial. Esta última propiedad nos ayuda a determinar que toda aplicación lineal sobreyectiva de un álgebra de Banach semisimple y uital con zócalo esencial en una C*-álgebra prima y unital con zócalo que preserva el orden minus en ambas direcciones es un múltiplo de un homomorfismo de Jordan.

  - Orden diamond: utilizando técnicas similares a las del caso del orden minus, conseguimos probar propiedades sobre el orden diamond en C*-álgebras, así como la relación entre este orden y algunos elementos distinguidos en las C*-álgebras. Además, demostramos que toda aplicación lineal sobreyectiva entre C*-álgebras unitales, suponiendo la de llegada prima, que preserva el orden diamond en ambas direcciones es un múltiplo de un *-homomorfismo de Jordan.

  En lo que se refiere al problema (IV), proporcionamos una versión generalizada del teorema de Hua para álgebras de Banach que hasta ahora sólo existía en el ambiente de anillos de división y álgebras de matrices. Además, avanzamos en el estudio de aplicaciones aditivas o lineales que preservan fuertemente los siguientes conceptos de inversibilidad generalizada:

  - Inversibilidad Drazin y de grupo: contestamos de manera afirmativa a una conjetura lanzada por M. Mbekhta, probando que toda aplicación aditiva entre álgebras de Banach que preserva fuertemente alguno de estos tipos de inversibilidad generalizada es un triple homomorfismo de Jordan.

  - Inversibilidad generalizada: contestamos de manera negativa a la misma conjetura, por medio de un contraejemplo.

  - Inversibilidad de Moore-Penrose: contestamos de manera negativa a una conjetura de M. Mbekhta en el caso más general, aunque, por otro lado, conseguimos respuestas parciales positivas en diversos ambientes, como las C*-álgebras unitales linealmente generadas por sus proyecciones, C*-álgebras unitales de rango real cero (caso continuo) y C*-álgebras unitales con zócalo esencial (caso biyectivo).

  - Inversibilidad según un elemento: caracterizamos las aplicaciones aditivas entre álgebras de Banach que preservan fuertemente esta reciente noción de inversibilidad generalizada como los homomorfismos triples de Jordan.

  - Regularidad (triple): Caracterizamos las aplicaciones lineales entre C*-álgebras (respectivamente, JB*-triples) que preservan fuertemente la regularidad como los triple homomorfismos, siempre que la bola unidad del dominio posea puntos extremos o sea (débilmente) compacto.

  - Casi-inversibilidad de Brown-Pedersen: probamos que toda aplicación lineal que preserva fuertemente la casi-inversibilidad de Brown-Pedersen, suponiendo que la bola unidad del dominio tiene puntos extremos, es un triple homomorfismo.

  Por último, el problema (V) es abordado apoyándonos en técnicas de ultraproductos de álgebras de Banach y C*-álgebras, las cuales permiten, en ciertos casos favorables, utilizar un resultado ¿exacto¿ para obtener uno aproximado. De esta manera, estudiamos aplicaciones lineales que preservan aproximadamente:

  - Inversos e inversos de grupo: se muestra que toda aplicación lineal entre álgebras de Banach unitales que preserva aproximadamente fuertemente la inversibilidad o inversibilidad de grupo es casi un múltiplo de un homomorfismo de Jordan.

  - Regularidad triple en C*-álgebras: probamos que una aplicación lineal entre C*-álgebras unitales que preserva aproximadamente fuertemente la regularidad triple es casi un triple homomorfismo.

  - Inversibilidad de Moore-Penrose: como consecuencia de lo anterior, obtenemos que toda aplicación lineal aproximadamente autoadjunta que preserva aproximadamente fuertemente la inversibilidad de Moore-Penrose es casi un triple homomorfismo.

  - Conorma: se prueba que toda aplicación lineal aproximadamente unital que preserva aproximadamente la conorma es casi -un homomorfismo de Jordan. Además obtenemos un resultado similar en el caso de no unilateral y sobreyectivo.