Resumen de Operadores extremos en espacios de Banach

Ana M. Cabrera Serrano

• RESUMEN PARA TESEO DE LA TESIS DOCTORAL : “OPERADORES EXTREMOS EN ESPACIOS DE BANACH” DOCTORANDO: ANA MARÍA CABRERA SERRANO DIRECTOR: JUAN FRANCISCO MENA JURADO (En español) Es esta memoria se presenta una clase de espacios de Banach reales en la que los operadores extremos coinciden con aquellos operadores cuyos adjuntos conservan los puntos extremos de la bola unidad del dual, llamados operadores nice.

  El primer capítulo se dedica a presentar resultados clásicos de puntos extremos en espacios de Banach. En particular, el Teorema de Milman que afirma que toda biyección lineal isométrica entre espacios de Banach es un operador extremo. El análisis de la demostración de este teorema, lleva a la definición de operador nice, considerada por primera vez en [5]. La existencia de casos particulares en que los operadores nice coinciden con los operadores extremos nos lleva a definir los espacios de Banach nice como aquellos que verifican que todo operador extremo de cualquier espacio de Banach en él es un operador nice. Probamos que los espacios c0(I) para cualquier conjunto no vacío I son espacios nice y que la c0-suma de espacios nice es nice. También probamos que el concepto de espacio de Banach nice no admite una versión “dual”, esto es, para cualquier espacio de Banach existe un operador extremo de él en otro espacio de Banach que no es un operador nice.

  En el segundo capítulo, damos una condición necesaria sobre un espacio de Banach para ser nice. Utilizamos este resultado para concluir que, si K es un espacio topológico compacto y Hausdorff, entonces C(K) es nice si, y sólo si, K es finito. También probamos que, si (, A, ) es un espacio de medida -finito, entonces L1() es nice si, y sólo si, tiene dimensión uno o dos. En el caso de que la bola unidad del espacio de Banach tenga algún punto extremo, damos una nueva condición necesaria para que el espacio sea nice. Dicha condición nos permite concluir que no existen espacios reflexivos de dimensión infinita que sean nice, así como que R es el único espacio de Banach estrictamente convexo que es nice. Por último, caracterizamos los espacios finito-dimensionales nice como aquellos que son isométricamente isomorfos a ln_, para algún n N.

  En el tercer capítulo, nos proponemos caracterizar los espacios L1-preduales que son nice. Para ello, la herramienta fundamental es la topología estructura, definida en el conjunto de los puntos extremos de la bola unidad del dual de cualquier espacio de Banach. Esta topología depende de los L-sumandos débil-* cerrados del dual. Para conseguir nuestro objetivo, es crucial un resultado que caracteriza los espacios de Banach isométricos a c0(I) como aquellos cuya topología estructura en el conjunto de los puntos extremos de la bola unidad dual es discreta. Utilizando esta herramienta junto con otros argumentos, demostramos que un L1-predual es nice si, y sólo si, es isométricamente isomorfo a c0(I), para algún conjunto no vacío I.

  En el cuarto capítulo, estudiamos los espacios A(K) (de funciones afines y continuas definidas en un convexo y compacto K) que son nice. Para aplicar los resultados obtenidos en los capítulos anteriores, la noción fundamental es la de cara directa de K. Una vez traducida la información previa en términos de las caras directas de K, podemos probar que, supuesto que el conjunto de puntos extremos de K que son caras directas es denso en el conjunto de puntos extremos, entonces A(K) es nice si, y sólo si, es isométricamente isomorfo a ln_, para algún n N. Esto equivale a que el conjunto de puntos extremos de K es finito y que toda cara cerrada de K es una cara directa (es decir, K es un símplex).

  Los resultados de la memoria han sido publicados en [1,2,3,4].

  (En inglés) In this dissertation we deal with a class of real Banach spaces in which extreme operators coincide with operators whose adjoints preserve extreme points of the unit ball of the dual spaces, called nice operators.

  In the first chapter, we recall some classical results on extreme points in Banach spaces. In particular, the Milman’s Theorem states that every isometric linear bijection between Banach spaces is an extreme operator. The analysis of the proof of this theorem justifies the definition of nice operator, first considered in [5]. The existence of particular cases where extreme operators are nice operators leads us to define nice Banach spaces as those spaces verifying that every extreme operator from any Banach space into it is a nice operator. We prove that spaces of type c0(I) for any nonempty set I are nice spaces as well as the stability of nice Banach spaces for c0-sums. We also prove that there is not a “dual” version of nice Banach spaces, that is, for any Banach space there exists an extreme operator from it into another Banach space which is a non-nice operator.

  In the second chapter, we obtain a necessary condition on a Banach space for being nice. We use this result to conclude that, if K is a compact Hausdorff topological space, then C(K) is nice if and only if K is finite. We also prove that if (, A, ) is a -finite measure space, then L1() is nice if and only if L1() has dimension one or two. If the unit ball of a Banach space has some extreme point, we give another necessary condition for being nice space. By using this condition we get that there are not infinite-dimensional reflexive spaces which are nice as well as R is the unique nice strictly convex Banach space. To finish, we characterize the nice finite-dimensional spaces as those isometrically isomorphic to ln_, for some n N.

  In the third chapter, the main goal is to get a characterization of nice L1-preduals. In order to do this, the crucial tool is the structure topology, defined in the set of the extreme points of the unit ball of any dual Banach space. This topology depends on weak*-closed L-summands of the dual space. For proving our main result we characterize Banach spaces isometrically isomorphic to c0(I) as those Banach spaces whose structure topology in the set of extreme points of the dual unit ball is discrete. By using this basic result and another considerations, we prove that an L1-predual is nice if and only if it is isometrically isomorphic to c0(I), for some nonempty set I.

  In the fourth chapter, we study the spaces A(K) (of (real) continuous affine functions defined on a convex compact K) which are nice. In order to use the results we have obtained in previous chapters, the main concept is the notion of split face of K. We translate all the previous information in terms of the split faces of K, and then, assuming that the set of extreme points of K which are split faces of K is dense in the set of extreme points, we can prove that A(K) is nice if and only if it is isometrically isomorphic to ln_, for some n N. This is equivalent to the fact that the set of extreme points of K is finite and that every closed face of K is a split face (that is, K is a simplex).

  The results of this dissertation have been published in [1,2,3,4].

  [1] A. M. Cabrera-Serrano and J. F. Mena-Jurado. Extreme operators whose adjoints preserve extreme points. J. Convex Anal. 22 (2015), 247-258.

  [2] A. M. Cabrera-Serrano and J. F. Mena-Jurado. Facial topology and extreme operators. J. Math. Anal. Appl. 427 (2015), 899-904.

  [3] A. M. Cabrera-Serrano and J. F. Mena-Jurado. Nice operators into G-spaces. Bull. Malays. Math. Sci. Soc. (To appear) DOI: 10.1007/s40840-015-0155-8.

  [4] A. M. Cabrera-Serrano and J. F. Mena-Jurado. Nice operators into L1-preduals. Rev. Mat. Complut. (To appear) DOI: 10.1007/s13163-016-0219-9.

  [5] P. D. Morris and R. R. Phelps. Theorems of Krein-Milman type for certain convex sets of operators. Trans. Amer. Math. Soc. 150 (1970), 183-200.