Resumen de Existencia de toros invariantes para aplicaciones simplécticas
Maria Alejandra González Enríquez
Hemos estudiado la existencia de otros invariantes para aplicaciones simplécticas, Si la aplicación es suficientemente cercana a una aplicación integrable, la teoría KAM, bajo ciertas condiciones de no-resonancia, a garantiza la existencia de toros invariantes diofánticos de dimensión máxima.
Muchos problemas físicos pueden ser estudiados usando modelos matemáticos que son perturbaciones de alguno que puede ser resuelto completamente.
Sin embargo, la teoría KAM clásica no puede ser aplicada, ya que el tamaño de la perturbación no es lo suficientemente pequeño.
Se han hecho muchos esfuerzos para mejorar las cotas inferiores dadas en los teoremas KAM (por ejemplo D. Rana en su tesis doctoral hizo esto para una curva concreta de la aplicación estándar), pero no hay resultados generales para esta clase de problema.
Consideramos un enfoque diferente basado en algunos de los resultados numéricos conocidos. La formulación general del problema que hemos estudiado es el siguiente:
Suponemos que para un cierto sistema hamiltoniano tenemos un toro aproximadamente invariante. Buscamos condiciones que garanticen la existencia de toros invariantes para este sistema que, además esten cerca del toro aproximadamente invariante.
Aprovechando las propiedades geométricas del problema construimos una metodología para calcular toros invariantes. En dicha metodología calculamos parametrizaciones de los toros invariantes. Cabe recalcar que, el procedimiento es iterativo y que a cada paso de la reducción del error se obtiene sumando una función pequeña y no componiendo con transformaciones que son cercanas a la identidad, como es usual en los métodos KAM. Esto proporciona estimaciones más simples y eficientes y que son más cercanas a las obtenidas utilizando métodos numéricos. También es importante notar que el método presentado puede ser utilizado para calcular aproximaciones numéricas de toros invariantes.
La condici
