Local distribution of rademacher series and function spaces

• Autores: Francisco Javier Carrillo Alanís
• Directores de la Tesis: Guillermo Curbera Costello (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 2017
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 93
• Tribunal Calificador de la Tesis: Luis Rodríguez Piazza (presid.) , Pedro Tradacete Pérez (secret.) , Javier Soria de Diego (voc.) , Sergey V. Astashkin (voc.) , Lech Maligranda (voc.)
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  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen

  • El objeto central de esta tesis son las funciones de Rademacher. A lo largo del s. XX, y especialmente en la segunda mitad, distintos resultados de Khintchine, Rodin y Semenov y Lindenstrauss y Tzafriri permitieron describir el subespacio generado por las funciones de Rademacher en ciertos espacios de funciones invariantes por reordenamientos. Estos resultados han sido extendidos más recientemente a otros espacios invariantes por reordenamientos por medio del K-método de interpolación y del estudio de la distribución de las series de Rademacher, gracias a los trabajos de Montgomery-Smith, Hitczenko y Astashkin.

    Nuestro interés se centra en las versiones locales de los resultados anteriores. Sagher y Zhou, generalizando un resultado de Zygmund, dieron una versión local de las desigualdades de Khintchine. Este resultado fue extendido posteriormente por Sagher y Zhou a otros espacios de funciones. Demostramos una versión local de las desigualdades de Khintchine en un espacio de funciones de integrabilidad exponencial.

    Estos resultados locales motivan el siguiente problema: dados un espacio de funciones X y su versión local, ¿son equivalentes los subespacios generados por las funciones de Rademacher sobre X y sobre su versión local? Este problema tiene la dificultad de que no se dispone de una expresión explícita de la norma de X, y por tanto, describir la versión local del espacio X no es inmediato. Astashkin y Curbera, considerando una definición de “espacio local” que denotamos X(E), demuestran una versión de las desigualdades de Khintchine en X(E). La desventaja de esta definición es que no se aplica a los espacios de funciones de integrabilidad exponencial, donde ya existe una versión local de las desigualdades de Khintchine.

    Definimos un espacio local distinto, que denotamos X|E, que sí es consistente con las versiones locales de las desigualdades de Khintchine. La definición del espacio local X|E es compatible con la equivalencia entre funciones de distribución, lo que permite estudiar el problema anterior considerando funciones de distribución en lugar de las normas de los espacios X|E y X. Resolvemos el problema, para conjuntos E con una cierta propiedad, demostrando una equivalencia entre las funciones de distribución sobre [0,1] y sobre E de las series de Rademacher. También damos un resultado sobre la independencia local de las funciones de Rademacher.

    El sistema de Walsh está formado por todos los productos finitos de funciones de Rademacher. Sagher y Zhou demostraron que las desigualdades de Khintchine son ciertas para las series de Walsh lagunares. Motivados por este resultado, demostramos que los resultados clásicos de Rodin y Semenov y Lindenstrauss y Tzafriri sobre el subespacio generado por las funciones de Rademacher también se cumplen para las funciones de Walsh lagunares.

    Los resultados anteriores no se aplican a los espacios de Cesàro, pues no son invariantes por reordenamientos. Recientemente, Astashkin y Maligranda han estudiado el comportamiento de las series de Rademacher en los espacios de Cesàro. Generalizamos estos resultados a los espacios de Cesàro con peso.