Resumen de Ecuaciones diferenciales matriciales de Riccati. Soluciones hermíticas semidefinidas positivas

Antonio Pastor Soriano

• LA ECUACION DIFERENCIAL MATRICIAL DE RICCATI PERMITE RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACION DE FUNCIONALES LINEALES CUADRATICOS EN TEORIA DE CONTROL DE SISTEMAS DINAMICOS, RESULTAN ESPECIALMENTE INTERESANTES EN ESTE CONTEXTO DOS CASOS PARTICULARES, LA ECUACION ALGEBRAICA Y LA ECUACION DIFERENCIAL PERIODICA, QUE SE PRESENTAN CUANDO LOS COEFICIENTES DE LA ECUACION SON FUNCIONES PERIODICAS, O CONSTANTES, Y SE PRETENDE CALCULAR SOLUCIONES PERIODICAS, O CONSTANTES, DE LA ECUACION.

  UNA DE LAS TECNICAS QUE SE HAN DESARROLLADO PARA EL ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES ESTRUCTURALES DE LAS SOLUCIONES, ES EL CONOCIDO COMO METODO DEL HAMILTONIANO.

  CONSISTE EN ASOCIAR A CADA SOLUCION UN SUBESPACIO INVARIANTE Y CARACTERIZAR EL QUE LA SOLUCION SEA HERMITICA O SEMIDEFINIDA POSITIVA A PARTIR DE PROPIEDADES DE ORTOGONALIDAD ENTRE LOS ELEMENTOS DEL SUBESPACIO.

  A LO LARGO DE LA MEMORIA SE ESTUDIA EN PROFUNDIDAD EL METODO DEL HAMILTONIANO, TANTO EN EL CASO CONSTANTE COMO EN EL PERIODICO, Y SE OBTIENE UNA CLASIFICACION DEL CONJUNTO DE SOLUCIONES SEMIDEFINIDAS POSITIVAS. DE LA CLASIFICACION SE DEDUCE UN METODO QUE PERMITE CONSTRUIR TODAS LAS SOLUCIONES SEMIDEFINIDAS POSITIVAS A PARTIR DE LOS SUBESPACIOS DE INOBSERVABILIDAD Y CONTROLABILIDAD DE (A, B, C), ASI COMO ESTUDIAR LA ORDENACION ENTRE ELLAS.

  UTILIZANDO EL METODO DE CONSTRUCCION, SE DEMUESTRAN CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA Y UNICIDAD DE ALGUNA SOLUCION SEMIDEFINIDA POSITIVA, DE SOLUCION ESTABILIZANTE Y SOLUCIONES <STRONG , DE SOLUCIONES MAXIMAL Y MINIMAL, Y DE SOLUCIONES DEFINIDAS POSITIVAS. DADO QUE EL METODO SOLO SE HA UTILIZADO ANTERIORMENTE IMPONIENDO RESTRICCIONES DE ESTABILIZABILIDAD O DETECTABILIDAD EN EL SISTEMA ASOCIADO, Y QUE ESTAS RESTRICCIONES HAN SIDO ELIMINADAS EN LA MEMORIA, LOS RESULTADOS OBTENIDOS SON NUEVOS O EXTENSIONES AL CASO GENERAL DE RESULTADOS CONOCIDOS EN ALGUNOS CASOS PARTICULARES.

  PREVIAMENTE AL ESTUDIO DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACION DE R