Resumen de On Quaternary Linear Reed-Muller Codes
Jaume Pernas Vallès
A la literatura recent hi podem trobar la introducció de noves famílies de codis de Reed- Muller quaternaris lineals RMs. Les imatges d’aquests nous codis a través del mapa de Gray són codis binaris Z4-lineals que comparteixen els paràmetres i les propietats (longitud, dimensió, distància mínima, inclusió, i relació de dualitat) amb la família de codis de Reed- Muller binaris lineals. El kernel d’un codi binari C es defineix com K(C) = {x 2 Zn2 : C + x = C}. La dimensió del kernel és un invariant estructural per els codis binaris equivalents. Part d’aquesta tesi consisteix en establir els valors de la dimensió del kernel per aquestes noves famílies de codis de Reed-Muller Z4-lineals. Tot i que dos codis Z4- lineals no equivalents poden compartir el mateix valor de la dimensió del kernel, en el cas dels codis de Reed-Muller RMs aquest resultat es suficient per donar-ne una classificació completa. Per altra banda, un codi quaternari lineal de Hadamard C, és un codi que un cop li hem aplicat el mapa de Gray obtenim un codi binari de Hadamard. És conegut que els codis de Hadamard quaternaris formen part de les famílies de codis quaternaris de Reed- MullerRMs. Definim el grup de permutacions d’un codi quaternari lineal com PAut(C) = {? 2 Sn : ?(C) = C}. Com a resultat d’aquesta tesi també s’estableix l’ordre dels grups de permutacions de les famílies de codis de Hadamard quaternaris. A més a més, aquests grups són caracteritzats proporcionant la forma dels seus generadors i la forma de les òrbites del grup PAut(C) actuant sobre el codi C. Sabem que el codi dual, en el sentit quaternari, d’un codi de Hadamard és un codi 1-perfecte estès. D’aquesta manera els resultats obtinguts sobre el grup de permutacions es poden transportar a una família de codis quaternaris 1- perfectes estesos
