Resumen de Geometría enumerativa en una superficie algebraica
La memoria de tesis doctoral proporciona bases de los espacios de homología racional del esquema de Hilbert de puntos en superficies algebraicas arbitrarias, permitiendo realizar cálculo explícitos en superficies con la técnica de geometría enumerativa del esquema de Hilbert de puntos. Se realiza una construcción explicíta de dos tipos de bases; una descrita por subesquemas reducidos y otra descrita por subesquemas no reducidos. Para demostrar que los candidatos que se proponen constituyentes bases, se emplea la misma técnica que utiliza Mallavibarrena para el cálculo de bases de la homología del esquema de Hilbert de 4 puntos: se demuestra que los candidatos a base intersecan con una matriz triangular de entradas no nulas en la diagonal y se comprueba que dichos candidatos verifican la cardinalidad requirida para las bases en los trabajos de Göttsche. La segunda parte de la memoria establece una geometría de triángulos de Schubert en superficies algebraicas arbitrarias, trasladando a superficies la técnica de geometría enumerativa de los triángulos de Schubert. Para ello se define una variedad de triángulos de Schubert como la explosión sobre la diagonal de la segunda potencia cartesiana de la proyectivización del fibrado tangentes, y se calcula la cohomología racional de esta variedad. La técnica para el cálculo de bases es distinta del teorema de Bialynichi-Birula y se basa en los generadores y relaciones del anillo y en las matrices de intersección de los elementos de dimensión complementaria. Se comprueba la validez de la geometría construida aplicándola a la enumeración de dobles contactos: se generalizan y se demuestran en superficies arbitrarias la fórmula de Zeuthen-Schubert y las dos conjeturas de Schubert sobre dobles contactos. Para el cálculo de los dobles contactos se expresan las clases de las curvas y las de la familias de curvas como combinaciones lineales de las clases básicas de sus espacios de cohomología con coeficientes que dependen de los invariantes que previamente se definen, y se usan las matrices de intersección para efectuar los productos de estas clases siguiendo la línea del trabajo de Arrondo-Mallavibarrena-Sols donde se demuestran las conjeturas de Schubert en el plano. Para el cálculo de los triples contactos se emplea la variedad de triples contactos que aparece en el trabajo de Arrondo-Sols-Speiser y se sigue el mismo proceso que se usa en los dobles contactos. Éstas son las dos partes que conforman la memoria; las bases de la homología del esquema de Hilbert de puntos y la geometría de tríangulos de Schubert en superficies algebraicas arbitrarias
