Resumen de r-critical points and Taylor expansion of the exponential map, for smooth immersions in Rk+n
En general, el estudio del contacto con hiperplanos e hiperesferas se ha llevado a cabo usando la familia de funciones altura y la función distancia al cuadrado. En la primera parte de la tesis analizamos el desarrollo de Taylor de la aplicación exponencial hasta orden 3 de una subvariedad M inmersa en Rn. Nuestro principal objetivo es mostrar su utilidad en el estudio de contactos especiales de subvariedades con modelos geométricos. A medida que analizamos los contactos de orden mayor, la complejidad de las cuentas aumenta. En este trabajo, a través del desarrollo de Taylor de la aplicación exponencial, caracterizamos la geometría de orden mayor que 3 en términos de invariantes geométricos de la inmersión, por lo que el trabajo con las cuentas en casos especiales se convierte en más manejable. Esto nos permite también obtener nuevos resultados geométricos. En la segunda parte de la tesis se introduce el concepto de punto crítico de una aplicación regular entre subvariedades. Clásicamente, el conjunto focal de una subvariedad diferencial viene dado a través del estudio de las singularidades de la función distancia al cuadrado sobre la subvariedad. Además, si consideramos una variedad diferenciable M de dimensión k e inmersa en R(k+n) sabemos que su conjunto focal puede ser interpretado como la imagen de los puntos críticos de la aplicación normal. De la misma manera, el conjunto parabólico de una subvariedad diferencial viene dado por el análisis de las singularidades de la función altura sobre la subvariedad. Si consideramos una subvariedad M de dimensión k e inmersa en R(k+n) sabemos que su conjunto parabólico puede ser interpretado como la imagen de los puntos críticos de la aplicación generalizada de Gauss. Por otro lado, la elipse de curvatura es definida como el lugar geométrico que describen los vectores de curvatura de la sección normal a lo largo de todas las direcciones del tangente de M en un punto. Esta elipse está en el subespacio normal al punto y está completamente determinada por la segunda forma fundamental. Llamamos Veronese of curvatura a la generalización natural de la elipse de curvatura para mayores dimensiones de M. Describimos primero el conjunto focal y su relación geométrica con la Veronese de curvatura para una variedad k dimensional inmersa en R(k+n). Entonces, definimos los puntos r-críticos de una aplicación f entre dos subvariedades y caracterizamos los puntos 2 y 3 críticos de la aplicación normal y la aplicación generalizada de Gauss. El número de estos puntos críticos en un punto de M depende de la degeneración de la elipse de curvatura y calculamos ese número en el caso particular de una superficie inmersa en R4 para la aplicación normal y R5 para la aplicación generalizada de Gauss.
